Fisica General Burbano

170 DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS DISCRETOS
De la figura deducimos: ri
= R + ri′
, y derivando con respecto al tiempo: vi
= v + vi′
, en la
que v i
es la velocidad de la partícula m i
referida a O, v es la velocidad del centro de masas referida
a O, y v i ′ es la velocidad de la partícula m i
referida al centro de masas como origen (o lo que es lo
mismo, la velocidad de la partícula tal como la mediría un observador montado en el centro de
masas).
Característica importante de este sistema de referencia es que respecto de él, el momento lineal
es nulo; en efecto:
p′ =∑ m v′ =∑m v −∑m
i i i i i
F ∑ miviI HG K J =
M
y en consecuencia, por ser R′ = 0 y p′ = 0, el estudio del movimiento de las partículas que realice
el observador ligado al CM no se verá afectado por sus propias velocidad y posición.
Resumiendo lo anteriormente expuesto, diremos que el estudio dinámico de un sistema de
partículas lo podemos dividir en dos partes: la primera constará de la información que dé un observador
ligado a un sistema de referencia inercial y que vea el sistema de partículas como una
partícula única situada en el CM, y la segunda, de la que dé un observador ligado al CM y que se
mueva con él.
0
VIII – 5. Principio de conservación del momento lineal
Al igual que para la energía, uno de los principios más fundamentales y universales de la Física
es el PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL para un sistema de partículas aislado, es
decir, cuando solamente existen interacciones entre ellas, no existiendo interacción alguna con el
exterior del sistema, entonces se cumple:
«El momento lineal total de un sistema de partículas aislado, referido a un sistema inercial
cualquiera, permanece constante con el tiempo.»
De forma inmediata deducimos de este principio la primera ley de Newton, puesto que para la
partícula libre (sin interacciones externas sobre ella o si la suma de éstas es nula) se verificará
p = mv = cte ⇒ v = cte, puesto que la masa m es siempre la misma en cualquiera que sea la situación
en que la medimos; demostrando de esta forma la primera ley de Newton.
De la aplicación del principio de conservación del momento lineal a dos partículas de masas
m 1
y m 2
que interaccionan entre sí, si inicialmente el momento lineal que poseen es p 1
= m 1
v 1
y
p 2
= m 2
v 2
, y después de la interacción su momento lineal es p1′ = m1 v1′ y p2′ = m1 v2′
, obtenemos:
m 1
v 1
+ m 2
v 2
= m 1
v′ 1
+ m 2
v′ 2
⇒ m 1
v′ 1
– m 1
v 1
= – (m 2
v′ 2
– m 2
v 2
) ⇒ Dp 1
= –Dp 2
que nos relaciona los cambios de momento lineal de las partículas. Si el tiempo transcurrido en tal
intercambio es Dt = t′ – t, dividiendo ambos miembros de la ecuación obtenida por Dt nos queda:
y para un instante determinado, haciendo tender Dt a cero, y pasando al límite, obtenemos:
dp
dt
aplicando a esta última la definición de fuerza como la variación temporal del momento lineal y
llamamos F 12
= dp 1
/dt a la fuerza ejercida sobre la partícula 1 por estar en presencia de la 2, y
F 21
= dp 2
/dt a la ejercida sobre la partícula 2 por estar en presencia de la 1, escribiremos:
F 12
= –F 21
que constituye la tercera ley de Newton para dos partículas, tal y como se enunció en el párrafo V-9.
Supongamos ahora dos sistemas de partículas S y S′ aislados del resto del universo pero que
interaccionan entre ellos; si S tiene n partículas de masas m 1
, m 2
, ..., m n
que en un instante determinado
poseen las velocidades v 1
, v 2
, ..., v n
, y S′ tiene m partículas de masas m′ 1
, m′ 2
, ..., m′ m
, con
velocidades v′ 1
, v′ 2
, ..., v′ m
, al evolucionar como si fueran un sistema aislado único, compuesto por
ambos, el principio de conservación del momento lineal de este sistema compuesto y aislado nos
conduce a que sea constante con el tiempo, es decir:
n
∆ p
∆t
dp
. .
=− ⇔ p =−p
dt
1 2
m
p = ∑ mivi
+ ∑ m i ′ v i ′ = p S + p S = cte
i = 1 i = 1
∆ p
=−
∆t
1 2
1 2
′
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al interaccionar entre ellos y para que ésta ecuación se verifique, para cualquier cambio en el momento
lineal de S tiene que producirse en S′ un cambio igual y de signo contrario, es decir:
∆pS
= ∆pS′
, describiéndose por esta causa la interacción entre S y S′ como un intercambio de
momento lineal.