Fisica General Burbano

244 EL CAMPO GRAVITATORIO
10R y se libera una de ellas con velocidad inicial nula. ¿Con qué velocidad
se moverá cuando llegue a chocar con la otra? Supón conocida la
constante de gravitación universal G.
41. Dos esferas homogéneas de 10 kg están colocadas con sus centros
fijos en los puntos (0, 3) y (0, – 3) de un sistema de coordenadas.
Una tercera masa de 10 g se abandona en reposo en el punto (4, 0),
¿con qué velocidad pasará esta última por el origen de coordenadas?
42. Tres partículas iguales de masa m están fijas en tres vértices de un
cuadrado de lado l, formando un sistema aislado. Conocemos el valor de
la constante de gravitación universal G. 1) Determinar el potencial gravitatorio
en los puntos A y B, vértice vacante y centro del cuadrado, respectivamente.
2) Si situamos una cuarta partícula en el punto A y la soltamos
con velocidad inicial nula, se moverá hacia B. ¿Por qué? Determina
su velocidad al pasar por B.
Problema XI-42.
Problema XI-46.
43. Dejamos caer un cuerpo desde una altura H = 20 000 m sobre
un astro igual a la Tierra (R 0
= 6 379 km y g 0
= 9,8 m/s 2 ), de tal forma
que alrededor de éste existe vacío (para anular en el problema la resistencia
del aire). Calcular la velocidad alcanzada por el cuerpo cuando
llegue a la superficie del astro.
44. Desde la superficie de la Tierra se lanza un cuerpo verticalmente
hacia arriba. 1) Si se le comunica una velocidad de 8 km /s, calcular
la altura que alcanzaría si no existiese la atmósfera. 2) Con la misma
suposición, calcular qué velocidad habría que comunicarle para que
alcanzase una altura igual al radio de la Tierra. (M 0
= 6 × 10 24 kg, R 0
=
6,37 × 10 6 m)
45. Una sonda de exploración, de masa m = 500 kg, describe una
órbita circular en torno a Marte. Sabiendo que el radio de dicha órbita
es R = 3,50 × 10 6 m, que la masa de Marte es M = 6,42 . 10 23 kg y que
G = 6,67 . 10 – 11 N m 2 kg –2 , calcula: 1) La velocidad orbital de la sonda
y su momento angular respecto al centro de Marte. 2) Las energías
cinética, potencial y mecánica de la sonda.
46. En la figura representamos lo que los astrónomos llaman un
Sistema Estelar Binario, tratándose en nuestro caso de dos estrellas idénticas
en órbita circular común, que giran persiguiéndose entre sí. Las leyes
de la mecánica exigen que ocupen siempre los extremos del diámetro. La
masa de cada estrella es M, la distancia entre ellas d y la constante universal
de gravitación es G. 1) Calcular el período de rotación 2) Suponiendo
que las estrellas están inmóviles, calcular la velocidad de cada estrella
en el momento en que la distancia entre ambas sea d /2.
47. Si suponemos que entre la Tierra y la Luna existe el vacío y haciendo
abstracción del movimiento de ellas, determinar la velocidad mínima
de lanzamiento de un proyectil desde la superficie de la Tierra
para que llegue a la Luna; calcular también la velocidad con que llega
dicho proyectil a la superficie lunar. (DATOS: d TL
= 60,3 R 0
; M 0
= 81 M L
;
R 0
= 6 370 km; R 0
= 4R L
; g 0
= 9,8 m/s 2 ).
48. Un cohete impulsor coloca un satélite artificial a una distancia
de 20 000 km del centro de la Tierra y con una velocidad de 5 000 m/s
que forma 60° con la vertical. Calcular el apogeo y el perigeo de la órbita
que seguirá el satélite. M 0
= 6 × 10 24 kg.
49. 1) Calcular la velocidad v 0
con la que llegaría a la superficie de
la Tierra, en ausencia de rozamiento en la atmósfera y bajo el único
efecto del campo gravitatorio terrestre, un cuerpo que cae, partiendo del
reposo, desde un punto infinitamente alejado de la Tierra. 2) Describir
los movimientos que efectuarían cuerpos que se lanzasen verticalmente
hacia el exterior, desde la superficie de la Tierra y en las mismas condiciones
que en el apartado anterior, con velocidades 2v 0
y v 0
/ 2, respectivamente.
DATOS: g 0
y R 0
.
50. Una nave espacial de masa m = 5 × 10 3 kg, con los motores
apagados, describe una órbita circular de radio r = 2,55 × 10 7 m en torno
a la Tierra. Calcular el trabajo que tendrían que realizar, como mínimo,
los motores de la nave para escapar de la atracción gravitatoria de
la Tierra. DATOS: G = 6,67 × 10 – 11 N . m 2 kg –2 , M 0
= 5,98 × 10 24 kg.
51. Una nave espacial describe órbitas circulares, en torno a la Tierra,
de radio 20 000 km. ¿En cuánto ha de incrementar su velocidad
para conseguir la velocidad de escape? R 0
= 6 370 km.
52. Deducir la tercera ley de Kepler para órbitas elípticas.
53. Expresar la excentricidad de una órbita elíptica en función de
las distancias del apogeo y perigeo.
54. Para un planeta en órbita elíptica en torno a una estrella de
masa M, obtener la expresión de la excentricidad de la órbita en función
de la energía total y del momento angular orbital del planeta.
55. Un satélite artificial es colocado por un cohete a una altura de
1 000 km sobre la Tierra y con una velocidad transversal de 9 000 m /s. 1)
Comprobar que la trayectoria posterior del satélite será elíptica. 2) Calcular
su máximo alejamiento de la Tierra. 3) Calcular el período orbital.
Radio de la Tierra R 0
= 6 370 km.
56. Una nave espacial de 10 000 kg describe una trayectoria elíptica
en torno a la Tierra, con unas distancias mínimas y máxima, respecto
del centro de ésta, de 10 000 km y 20 000 km, respectivamente. Cuando
se encuentra en el apogeo de su trayectoria expulsa hacia delante
500 kg de gases, con lo que reduce su velocidad a la justa para tener un
nuevo perigeo de 9 000 km. Calcular la velocidad de salida de los gases
respecto de la Tierra en el frenado, suponiendo que la emisión es instantánea.
Radio de la Tierra R 0
= 6 379 km, intensidad de la gravedad
en su superficie 9,8 m/s 2 .
57. Las distancias más próximas y más alejada de la Tierra al Sol
en su órbita son de 1,47 × 10 11 m y de 1,52 × 10 11 m respectivamente.
Considerando la masa del Sol como M S
= 2 × 10 30 kg y G = 6,67 × 10 – 11
N . m 2 kg – 2 , calcular las velocidades mínima y máxima del movimiento
orbital de la Tierra.
58. Calcular la intensidad del campo gravitatorio debido a un volumen
cilíndrico muy largo, homogéneo, de densidad r y radio R en puntos
situados: 1) r > R. 2) r < R.
59. Se tiene un cascarón esférico hueco, de radios interior R 1
y exterior
R 2
, y densidad uniforme r. Para las zonas r ≤ R 1
, R 1
≤ r ≤ R 2
y r ≥ R 2
,
siendo r la distancia al centro del cascarón, calcular: 1) El vector intensidad
de campo gravitatorio. 2) El potencial gravitatorio.
60. Supuesta la Tierra esférica de radio R 0
y homogénea (densidad
constante), calcular la profundidad a que debe introducirse un cuerpo
para que su peso sea el mismo que a una altura h sobre su superficie.
61. Si la Tierra fuese homogénea y se hiciese un conducto recto de
polo a polo, al dejar caer por él un cuerpo desde uno de los polos adquiriría
un MAS. ¿Por qué? Calcular el período de este movimiento.
62. Si la Tierra fuese homogénea y se hiciese en conducto recto
como se indica en la figura, al dejar caer por él un cuerpo de masa m
adquiriría un movimiento vibratorio armónico. ¿Por qué? Calcular el
período de ese movimiento. Suponer que no existen rozamientos entre
el cuerpo y las paredes del conducto.
Problema XI-62.
63. Calcular la energía potencial que posee una masa M = M 0
en
el interior de la Tierra en un punto situado a una profundidad h, supuesta
ésta homogénea y esférica de radio R 0
y densidad r.
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