Fisica General Burbano

COORDENADAS POLARES 45
Desarrollando u r
en la base {i, j} tenemos:
r = r (cos j i + sen j j) = r cos j i + r sen j j
con lo que la relación entre las componentes de ambos sistemas es:
y de la Fig. II-36, la inversa:
PROBLEMAS: 56al 60.
x = r cos j y = r
sen j
2 2
y
r = x + y j = arctg
x
PROBLEMAS
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A) ÁLGEBRA VECTORIAL
1. Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60° y tiene de
módulo 4 unidades. Calcular: 1) Sus componentes coordenadas.
2) Ángulo que forma con el eje Z.
2. Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos
son: F 1
= 5 kp y F 2
= 7 kp, que forman respectivamente los siguientes
ángulos con el eje OX: 60° y –30°. Calcular: 1) La fuerza resultante.
2) Su módulo. 3) Ángulo que forma con el eje OX.
3. Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son:
F 1
= 6 kp, F 2
= 3 kp, F 3
= 4 kp, que forman, respectivamente, los siguientes
ángulos con el eje OX: 45°, 30° y –60°. Las tres fuerzas están
en el mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el coseno del
ángulo que forma con el eje OX.
4. Teniendo en cuenta que la fuerza de interacción Newtoniana entre
dos partículas de masa m y m′ que distan entre sí r, es: F =
= –Gmm′r/r 3 , [G = 6,67 × 10 – 11 N · m 2 /kg 2 ], resolver el siguiente problema:
supongamos que en el espacio intergaláctico (fuera de toda influencia
de cuerpos celestes) definimos un sistema de ejes rectangulares.
Tres partículas de masa 4 kg las colocamos en (0, 0), (2, 2), (2, –2) medidas
estas coordenadas en metros. Calcular la fuerza que ejercerán sobre
una partícula de masa 1 kg colocada en (4, 0) m.
5. Si la expresión de la ley de Coulomb es: F = K 0
qq′r /r 3 ,
[K 0
= 9 × 10 9 N · m 2 /C 2 ]. Calcular la fuerza que actúa sobre una carga
de 1 µC colocada en el punto (6, 0) m debida a la siguiente distribución:
En el origen de coordenadas una carga q 1
= 2 µC, en el punto (0, 3) m
una carga q 2
= 3 µC y en el punto (0, –3) m una carga q 3
= –3 µC
(suponemos las cargas en el vacío).
6. Descomponer la fuerza de módulo F = 20,0 N en las direcciones
a y b indicadas en la figura.
Problema II-6.
Problema II-27.
7. Si tienen tres vectores no coplanarios OA = a, OB = b y
OC = c. Designamos por M el punto medio del segmento rectilíneo AB
y por G el baricentro del tríangulo ABC; se pide obtener razonada y sucesivamente:
1) Expresión de OM en función de a y b. 2) Expresión de
MC en función de OM y c, así como la de GC en función de MC.
3) Expresión de OG en función de a, b y c.
8. Dados los vectores: a = 3i – 2j, b = – 4i + j, calcular: 1) El
vector suma y su módulo. 2) El vector diferencia y el ángulo que forma
con el eje OX. 3) El vector c = 2a – 3b y el vector unitario que define
la dirección y sentido de c.
9. Dados los vectores: a de módulo 3 y cosenos directores proporcionales
a 2, 1 y –2, b que tiene de origen respecto de cierto sistema el
punto O (–1, –2, 1) y de extremo el punto P (3, 0, 2) y el vector
c (2, 0, –3). Calcular: 1) 2a – 3b + c. 2) |3a – 2b + 2c|.
10. Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia
el punto O (–1, 2, 0) y de extremo P (3, –1, 2). Calcular:
1) Componentes del vector OP. 2) Módulo y cosenos directores. 3) Un
vector unitario en la dirección de él pero de sentido contrario.
11. Dados los vectores a (2, 4, 6) y b (1, –2, 3). Calcular: 1) El
vector suma a + b, su módulo y cosenos directores. 2) El vector diferencia
a – b y el vector unitario que define su dirección y sentido.
12. Dados los vectores: a (1, –1, 2) y b (–1, 3, 4). Calcular:
1) El producto escalar de ambos vectores. 2) El ángulo que forman.
3) La proyección de b sobre a.
13. Demostrar que el vector unitario a, cuyos cosenos directores
son: cos a = 1/3, cos b = 2/3 y cos g > 0, es perpendicular al vector
b (6, –9, 6).
14. Demuéstrese que si la suma y diferencia de dos vectores tienen
el mismo módulo, entonces son perpendiculares.
15. Hallar el vector unitario paralelo al plano OYZ, y perpendicular
al vector v = 2i + j – 3k.
16. Dado el vector v = 4i – j + 2k, calcular su proyección sobre la
recta que pasa por los puntos A (0, 1, 2) y B (2, 2, 1).
17. Se tienen los vectores v 1
= 2i – 2j + k y v 2
= i – 2j. Calcular
las componentes del vector unitario u, perteneciente al plano determinado
por v 1
y v 2
y perpendicular al vector v = v 1
– 2v 2
.
18. Demostrar que las alturas de un triángulo se cortan en un punto.
19. Dados dos vectores a (2, 1, –3) y b (1, 0, –2) hállese un vector
unitario que sea perpendicular ambos.
20. Dados los siguientes vectores: a = (2i + 3j + 6k)/7, b = (3i –
+ 6j + 2k)/7, c = (6i + 2j – 3k)/7, demuéstrese: 1) Que sus respectivos
módulos valen la unidad. 2) Que son perpendiculares entre sí. 3) Que
c es el producto vectorial de a por b.
21. Dados los vectores a (1, 3, –2) y b (1, –1, 0). Calcular:
1) Su producto vectorial. 2) El área del paralelogramo que tiene a los
dos vectores como lados. 3) Un vector c, de módulo 6, perpendicular al
plano en que se encuentran a y b.
22. Los tres vértices de un triángulo son: A (2, 1, 3), B (2, –1, 1)
y C (0, –2, 1). Calcular: 1) Área del triángulo. 2) Ángulo A.
23. Tres vértices de un paralelogramo ABCD tienen por coordenadas:
A (2, 0, 2), B (3, 2, 0) y D (1, 2, –1). Calcular: 1) Las coordenadas
del vértice C. 2) Área del paralelogramo. 3) Ángulo en B.
24. Si el producto vectorial de dos vectores es a × b = 3i – 6j + 2k
y sus módulos son 4 y 7 , respectivamente, calcular su producto escalar.
25. 1) Deducir el teorema del coseno para un triángulo utilizando
el producto escalar. 2) Dedudir el teorema de los senos para un triángulo
utilizando el producto vectorial.
26. Definido un sistema de referencia cartesiano en el plano: OXY;
y en él dos vectores unitarios cualesquiera u 1
y u 2
que forman los ángulos
a y b respectivamente con la dirección positiva del eje OX. 1) Demostrar
que: u 1
= cos a i + sen a j, u 2
= cos b i + sen b j. 2) Calcular,
por aplicación del producto escalar de u 1
y u 2
, la expresión de
cos (a – b). 3) Calcular, por aplicación del producto vectorial de u 1
y u 2
,
la expresión de sen (a – b).
27. Calcular el volumen del paralelepípedo de la figura sabiendo
que O (1, 0, 2), A (3, 2, 4), B (2, 6, 8) y C (2, –3, 1), expresadas en
metros.