Fisica General Burbano

CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 191
vector. Por variar el eje y el vector v con el tiempo se les llama EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y VE-
LOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA DE ROTACIÓN.
IX – 3. Movimiento general de un sólido rígido. Ecuación del eje central
De la ecuación (2) y teniendo en cuenta los casos 1) y 3) del párrafo anterior, podemos considerar
el movimiento general de una partícula P del sólido como la superposición de dos:
v = v + v
p
1 2
v
v
= v
1 O
2 v
= × OP
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el primero corresponde a un movimiento de traslación con velocidad igual a la de cualquier partícula
O del sólido a la que llamaremos VELOCIDAD DE DESLIZAMIENTO y el segundo corresponde a un
movimiento de rotación alrededor de un eje instantáneo, y cuya velocidad angular en ese instante
coincide con la dirección de dicho eje.
Para analizar algunas características del movimiento, es preciso demostrar en primer lugar que
v es independiente del punto O elegido. En efecto: las velocidades de dos puntos P y M serán:
v p
= v o
+ v × OP y v M
= v o
+ v × OM.
Restando ambas expresiones tenemos: v p
– v M
= v × (OP – OM) = v × MP, es decir,
v p
= v M
+ v × MP, que nos da la velocidad de P con centro de reducción en M y la misma v. El
vector v es una invariante del movimiento.
La invarianza de v permite considerar el campo de velocidades de los puntos del sólido, también
en el caso general de movimiento, como el campo de momentos de un sistema de vectores
de resultante general v y de momento resultante en P igual a v p
. Todas las propiedades del campo
de momentos vistas en el tema II son de aplicación aquí.
Una de ellas, «el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma velocidad (momento) que
uno dado P es una recta que pasa por P y es paralela a v (resultante)»: llamando M a uno de esos
puntos, por ser v p
= v M
, tendremos: v × OP = v × OM ⇒ v × (OP – OM) = 0 ⇔
v × MP = 0, relación que se ha de verificar para todos M y P, y que por tanto equivale a decir
que v y MP son paralelos.
Otra propiedad interesante, «el producto escalar de la velocidad angular v (resultante) por la
velocidad de un punto (momento) es un invariante escalar»: multiplicando v por la velocidad de
un punto cualquiera, tenemos: v · v p
= v · (v o
+ v × OP) = v · v o
+ v · (v × OP), el último sumando
es nulo por ser sus dos factores perpendiculares, luego v · v p
= v · v o
, para todo par de
puntos P y O.
Y de las dos propiedades citadas obtenemos la más interesante de las que nos proporciona la
igualdad de campos mencionada, la existencia del EJE CENTRAL o el lugar geométrico de los puntos
de velocidad mínima, que para el sólido será el eje instantáneo de rotación y de deslizamiento. Por
ser v · v = cte, la velocidad mínima será paralela a v. Sea P un punto del eje central y O un centro
de reducción cualquiera, si llamamos (x, y, z) a las componentes del vector OP, de
v p
= v o
+ v × OP, tendremos:
v p
= (v ox
+ w y
z – w z
y) i + (v oy
+ w z
x – w x
z) j + (v oz
+ w x
y – w y
x) k
La condición de paralelismo de dos vectores equivale a la proporcionalidad de sus componentes,
con lo que:
vox + wy z − wz
y voy + wz x − wx
z voz + wx y − wy
x
=
=
w
w
w
x
ecuación de una recta; es la ECUACIÓN DEL EJE CENTRAL.
En el caso particular de que se verifique v · v = 0, todas las velocidades son perpendiculares a
v, salvo las del eje central que son nulas. El movimiento es una rotación pura con el eje central
como eje instantáneo de giro.
Ahora bien, si v · v ≠ 0, la velocidad mínima no es nula y el eje central desliza en la dirección
de v y en el mismo sentido o en el contrario según que v · v sea positivo a negativo. En
cada instante el movimiento del sólido es HELICOIDAL, deslizando a lo largo del eje y girando a su
alrededor.
Se llama «PASO» (h) a la distancia entre dos puntos homólogos de dos espiras consecutivas; y
equivale al avance del punto, a lo largo del eje, al dar una vuelta completa.
Si el movimiento de rotación y el de deslizamiento a lo largo del eje son uniformes, el movimiento
helicoidal es de paso constante (Fig. IX-5).
Todo movimiento del sólido rígido es un MOVIMIENTO HELICOIDAL. La complejidad aparente de
muchos movimientos radica en el cambio, en cada instante, del eje de rotación y traslación que,
por este motivo, se llama EJE INSTANTÁNEO.
y
z
Fig. IX-5.– Movimiento helicoidal de
paso constante.