Fisica General Burbano

CAPÍTULO IX
CINEMÁTICA Y ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
A) CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
IX – 1. Campo de velocidades de un sólido rígido en movimiento
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Se define el SÓLIDO RÍGIDO como «un sistema de partículas en el que la distancia relativa entre
ellas permanece constante con el tiempo». Un sólido rígido por tanto no cambia ni su forma ni su
volumen durante su movimiento.
Supongamos dos partículas cualesquiera, invariablemente unidas al sólido rígido en movimiento,
situadas en un instante t en puntos O (x o
, y o
, z o
) y P (x p
, y p
, z p
) referidos a un triedro que
consideramos fijo (Fig. IX-1), sus vectores de posición serán:
r o
= x o
i + y o
j + z o
k
y sus velocidades en el instante considerado:
v
r p
= x p
i + y p
j + z p
k
Se trata de encontrar una expresión que nos relacione estas velocidades instantáneas.
De la Fig. IX-1 obtenemos: OP = d = r p
– r o
, y el módulo del vector d, invariante con el tiempo,
lo podemos escribir: d 2 = (r p
– r o
) · (r p
– r o
)= cte, derivando con respecto al tiempo:
F
HG
drp
dro
( rp
− ro) ? − = 0 ⇒ OP ?( vp − vo)
= 0 ⇒ vp ? OP = vo
? OP
dt dt KJ
lo que equivale a decir:
o
dr
r
o dxo dyo dz
d
o
p dx p dyp dz p
= = i + j + k vp
= = i + j + k
dt dt dt dt
dt dt dt dt
I
«Para dos partículas cualesquiera pertenecientes a un sólido rígido en movimiento, las proyecciones
de sus vectores velocidad sobre la recta que las une son iguales en magnitud y
signo».
Se dice de un campo vectorial que verifica esta propiedad que es EQUIPROYECTIVO, y el campo
de velocidades de un sólido rígido lo es.
En el apartado de teoría de momentos, en el capítulo II, veíamos que un sistema de vectores
deslizantes se podía describir en función de su resultante general, R, y del momento resultante N.
La resultante R es invariante respecto del centro de reducción elegido (punto respecto del que se
toman los momentos), no así N puesto que su valor varía al cambiar dicho centro. Vamos a demostrar
que:
«El campo vectorial que resulta de tomar momentos de un sistema de vectores deslizantes
respecto a los distintos puntos del espacio, es un campo vectorial equiproyectivo».
En efecto: Si N O
es el momento resultante respecto a un punto O cualquiera del espacio, y N P
el momento resultante respecto a otro P, entonces la relación entre ellos, según vimos en la expresión
(17) del capítulo II párrafo 23, es:
N P
= N O
+ PO × R = N O
+ R × OP (1)
multiplicando escalarmente los dos miembros de esta igualdad por OP y teniendo en cuenta que:
(R × OP) · OP = 0 puesto que los dos vectores del producto escalar son perpendiculares entre sí,
nos queda: N P · OP = N O · OP, quedando así demostrado el teorema.
Siendo cierto el recíproco y aplicándolo a nuestro caso, podemos decir: si v es el vector que
define el campo de velocidades para cualquier punto: v = v(r), y siendo éste equiproyectivo, existe
un sistema de vectores deslizantes cuyos momentos: N = N(r), verifican para todos los puntos
del espacio que: N = v.
Por analogía con (1) podemos poner:
Fig. IX-1.– En un sólido rígido el
→
módulo del vector d , permanece invariante
en el tiempo.
v = v + v × OP
p
o
(2)