Fisica General Burbano

ÁLGEBRA VECTORIAL 33
y el módulo de s es la suma de los módulos. Único caso en que la suma vectorial coincide con la
suma de los módulos.
2.– En el caso de que los vectores tengan la misma dirección y sentido contrario (Fig. II-15b) el
ángulo j es 180º y su coseno es –1:
s = v + v − 2 v v = ( v − v ) = v − v
y el módulo de s es la diferencia de los módulos.
2
1
2
2
2
1 2 1 2
1 2
3.– Si los vectores son perpendiculares, j = 90º, entonces: s 2 2 2
= v v , o bien; s 2 1 + 2
=
2 2
= v1
+ v2
y el cuadrado del módulo del vector suma es la suma de los cuadrados de los módulos
de los sumandos.
Para obtener la dirección de s, bastará con determinar el valor de a en la Fig. II-14, en la que
se tiene:
CB = s sen a = v2
sen j
s v2 v1
⇒ = =
AD = v sen a = v sen b sen j sen a sen b
1 2
(3)
Fig. II-15.– Casos particulares de
suma de vectores.
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Las fórmulas (2) y (3) son dos ecuaciones fundamentales de la trigonometría: los teoremas del
coseno y del seno.
II – 7. Propiedades de la suma de vectores
A partir de consideraciones geométricas sencillas se deducen las siguientes propiedades:
a) Es conmutativa: v 1
+ v 2
= v 2
+ v 1
. En efecto: en la Fig. II-16, v 1
+ v 2
= AB + BD = AD, y
v 2
+ v 1
= AC + CD = AD, luego es conmutativa; y s coincide con la diagonal del paralelogramo
construido con v 1
y v 2
como lados.
b) Es asociativa: (v 1
+ v 2
) + v 3
= v 1
+ (v 2
+ v 3
). En efecto (Fig. II-17):
(v 1
+ v 2
) + v 3
= (AB + BC) + CD = AC + CD = AD
v 1
+ (v 2
+ v 3
) = AB + (BC + CD) = AB + BD = AD
c.q.d.
Esta propiedad permite definir la regla del polígono para la suma gráfica de vectores: Dados n
vectores libres, v 1
, v 2
, ..., v n
, si tomamos como origen de cada uno el extremo del anterior, el vector
suma es el que une el origen del primero con el extremo del último. (Fig. II-18).
Analíticamente esta propiedad se expresa de la forma:
de forma que si: v 1
= x 1
+ y 1
+ z 1
v 2
= x 2
+ y 2
+ z 2
.........................
.........................
.........................
v n
= x n
+ y n
+ z n
entonces:
s = x + y + z
s = v + v + v + ... + vn
= ∑ vi
1 2 3
donde
n
n
i = 1
n
i
n
i = 1
n
i
n
i = 1
i
x = x + x + ... + x = ∑ x
1 2
y = y + y + ... + y = ∑ y
1 2
z = z + z + ... + z = ∑ z
1 2
y las componentes del vector suma son de nuevo la suma de las correspondientes componentes de
los sumandos.
c) Existe el vector nulo 0, tal que v + 0 = v. Sus componentes son todas nulas.
d) Para todo vector v existe el opuesto –v, que sumado con v da el vector nulo: v + (–v) = 0.
Sus componentes son las de v con el signo cambiado, y tiene la misma dirección que v y sentido
contrario.
Al resultado de sumar el vector v 1
el opuesto a v 2
se le llama DIFERENCIA DE AMBOS VECTORES:
v 1
– v 2
= v 1
+ (–v 2
) (Fig. II-19).
n
i = 1
Fig. II-16.– La suma de vectores goza
de la propiedad conmutativa.
Fig. II-17.– Propiedad asociativa de
la suma de vectores.
Fig. II-18.– Construcción geométrica
del vector suma de cuatro.
Fig. II-19.– Diferencia de vectores libres.