Fisica General Burbano

156 TRABAJO Y ENERGÍA. TEORÍA DE CAMPOS. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Siendo la fuerza que actúa sobre la partícula en un MAS conservativa T + U = cte; para este
caso y empleando (7) y (8) se llega a la misma conclusión, en efecto.
LA ENERGÍA TOTAL, suma de la cinética y la potencial es, en cualquier punto del trayecto:
1
E = T + U = mA 2 1
1
w 2 cos 2 ( wt + j) + mA 2 w 2 sen
2 ( wt + j)
⇔ E = mA 2 w
2 = cte
2
2
2
c.q.d.
En la Fig. VII-25 representamos las energías cinética y potencial (en ordenadas) con el tiempo
(en abscisas), en donde se ha tomado j = 0. Obsérvese que tanto T como U son positivos, su
suma en cualquier instante es constante igual a mA 2 w 2 /2, y varían periódicamente con doble frecuencia
que la elongación, es decir, en cada período hay dos transformaciones completas de
energía cinética en potencial y viceversa.
En la Fig. VII-26 representamos la función energía potencial U y cinética T en función de la
elongación, para una partícula de masa m que posee un MAS. La energía total E la representamos
por una línea horizontal. En los puntos de retorno x = A y x = –A, la partícula se detiene e invierte
su movimiento.
Se llama INTENSIDAD del MAS a la energía cinética media en un período.
I =
Fig. VII-25.– Representación gráfica
de las energías cinética y potencial
con el tiempo para un MAS.
Fig. VII-26.– Representación gráfica de la energía
potencial U y cinética T en función de la elongación
x, para una partícula de masa m que tiene
un MAS.
(en la que E c
es la energía cinética, a la que no llamamos T en esta ocasión para no confundirla
con el período). Se calcula mediante la expresión:
zT
1
I =< Ec
>=
T
E c dt
0
o más sencillamente, de la Fig. VII-26, teniendo en cuenta que los valores medios de
E c
y U son iguales y su suma igual a la energía total E = cte:
1
1
< Ec
> = < U > = < E > ⇒ I = mA
2
4
y resulta proporcional a w 2 y A 2 . Estos valores promedios de las energías resultan de
gran interés, puesto que en los fenómenos físicos atómicos las frecuencias son tan altas
que el tiempo que invertimos en una medida es muchas veces mayor que el
período T.
PROBLEMAS: 84al 92.
VII – 28. Péndulo matemático o simple
PÉNDULO MATEMÁTICO es un punto material que oscila suspendido en un hilo inextensible
y sin peso.
El péndulo matemático o simple es puramente ideal, por no poderse cumplir exactamente
las condiciones de su definición.
Apartamos la partícula m de su posición de equilibrio (Fig. VII-27) y vuelve a ella,
por la tendencia de los cuerpos a adquirir la mínima energía potencial. Rebasa la posi-
ción A, por inercia (tendencia a seguir con el movimiento adquirido), y llega a una posición C, a la
misma altura que la B, de la que partió, puesto que la energía potencial en B con respecto a un
plano horizontal que pasa por A (mgh), se ha transformado en cinética en A (mv 2 /2), y ésta, a su
vez, en potencial en C (mgh′); siendo las tres iguales (T A
+U A
= T B
+ U B
= T C
+ U C
∧ T B
= T C
= U A
=
0) se verifica:
1 2
mgh = mv = mgh′ ⇒ h = h′
2
Por las mismas causas, de C pasa a A y luego a B. Si no existiera rozamiento, el movimiento oscilatorio
continuaría indefinidamente.
La fuerza que actúa sobre la partícula es su peso, al que podemos considerar descompuesto en
dos fuerzas: una F′ en la dirección del hilo, al que mantiene tirante y que es anulada por la reacción
del punto fijo; y la F, tangente a la trayectoria, productora del movimiento, y cuyo valor es:
F = – mg sen q, siendo q igual al ángulo que forma el hilo con la vertical. El signo menos indica
que la fuerza es de sentido contrario al desplazamiento angular. La fuerza F es, pues, variable, dependiendo
de los diversos valores de q, el movimiento, en consecuencia, es de aceleración variable
con el tiempo.
Considerando ángulos pequeños, podemos escribir la fórmula de la fuerza productora del movimiento:
F = – mg q, confundiendo el seno con el ángulo expresado en radianes. Pero siendo: q = x/l
obtenemos por sustitución:
2 2
w
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