Fisica General Burbano

698 CORTEZA ATÓMICA
el campo eléctrico en un punto, ..., en las ondas de materia la amplitud carece de ese sentido. El
significado de la función de onda fue sugerido por Max Born:
El cuadrado de la función de onda, |y | 2 , en un punto del espacio y en un instante determinado,
representa la probabilidad de encontrar la partícula en esa posición y en ese instante.
Más concretamente, si en un momento dado se realiza una medida para localizar una partícula
en un volumen elemental dV en torno a un punto r, la probabilidad P(r) de encontrarla es:
P (r) = |y | 2 dV
|y | 2 mide la DENSIDAD DE PROBABILIDAD.
(La función de onda puede ser compleja, con lo que |y | 2 = yy* siendo y* la compleja conjugada
de y).
Para aclarar el anterior enunciado podemos recordar la experiencia de Young de difracción de
luz por una doble rendija (párrafo XVI-27). Se producían en una pantalla franjas de interferencia
consistentes en zonas iluminadas y oscuras, en las que la intensidad pasa por valores máximos y
mínimos. Puesto que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, si mayor intensidad
en un punto equivale a mayor número de fotones incidiendo en el, podemos asimilar mayor número
de fotones a mayor valor del cuadrado de la amplitud.
Análogamente, se producen figuras de interferencia difractando un haz de electrones y haciéndolos
incidir en una pantalla fluorescente que emite un destello en cada impacto. Al reducir la frecuencia
de los impactos, lanzando los electrones uno a uno por ejemplo, cada destello se produce
en un punto imposible de determinar de antemano, sin embargo, tras un gran número de ellos se
observa que se concentran en las zonas donde el cuadrado de la función de onda del haz era máxima,
y en las cuales es por tanto mayor la probabilidad de encontrar un electrón en un instante
dado.
La difracción de electrones no se produce exclusivamente cuando el haz consta de un gran número
de ellos, sino que es un fenómeno individual; cada electrón es difractado por las dos rendijas
dado su carácter de onda, sin embargo, cada uno produce un destello en la pantalla manifestando
así su carácter de partícula. La función de onda unifica los dos aspectos relacionándolos mediante
la interpretación dada en el enunciado inicial y según el cual, la Naturaleza a escala microscópica
no es determinista, es decir, partiendo de unas condiciones iniciales no se puede asegurar en qué
forma va a evolucionar un sistema cuántico, solamente se puede afirmar que una cierta situación
posterior tiene una probabilidad determinada de producirse.
XXVIII – 43. Ecuación de Schrödinger para estados estacionarios
Para obtener la EXPRESIÓN DE LA FUNCIÓN DE ONDA de una partícula se debe resolver la ecuación
propuesta por Erwin Schrödinger en 1926. Su forma para estados estacionarios (energía constante,
independiente del tiempo) es:
2 m
y + E − U ( x , y , z ) y = 0
h
Ñ 2 2
donde E es la energía total de la partícula y U(x, y, z) su energía potencial en un campo de fuerzas.
A las soluciones y (x, y, z) de la ecuación (30) se les imponen unas ciertas condiciones: por un
lado |y| 2 dV mide la probabilidad de encontrar la partícula en un punto determinado, y por otro,
esta probabilidad no puede variar de un punto a otro a saltos, ni puede tomar dos valores distinto
en el mismo punto, ni ser mayor que la unidad. Esto exige que la función de onda sea continua,
unívoca y finita, verificando la CONDICIÓN DE NORMALIZACIÓN:
z
y 2 dV = 1
V
donde la integral está extendida a todo el espacio.
Cada situación particular tiene su ecuación y su solución correspondientes, diferentes unas de
otras por la forma de la energía potencial U. Así por ejemplo, para una partícula con U = 0 (partícula
libre) existe solución continua, unívoca y finita cualquiera que sea el valor de E. Para un
electrón en el átomo de hidrógeno, en el que U = – Ke 2 /r, solamente se obtienen soluciones con
sentido físico para determinados valores de E, que coinciden precisamente con las energías de los
estados estacionarios de la teoría de Bohr. Quiere esto decir que de la ecuación de Schrödinger y
de la condición de normalización se deduce de forma natural la cuantificación de la energía de una
partícula no libre.
La discusión que viene a continuación es una justificación de la ecuación de Schrödinger para
hacerla más aceptable al estudiante; no es una deducción porque esta ecuación es en la mecánica
ondulatoria una ecuación básica, no deducible de otra más elemental (hace el mismo papel que
(30)
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