Fisica General Burbano

TEORÍA - CAPÍTULO 07 - 3 as PRUEBAS
160 TRABAJO Y ENERGÍA. TEORÍA DE CAMPOS. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
PROBLEMAS
A) TRABAJO Y POTENCIA
1. Demostrar que el trabajo para elevar un cuerpo una altura h utilizando
un plano inclinado sin rozamiento es el mismo que al elevarlo
verticalmente a esa altura.
2. Calcular el trabajo que hay que realizar al estirar un resorte una
longitud a. La constante recuperadora es K.
3. Determinar el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo de 100 kg que se desplaza 10 m sobre un plano
inclinado 30° con la horizontal por el efecto de la fuerza F = 800 N que
forma un ángulo de 45° con la dirección ascendente del plano (ver Fig.).
El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie del plano es
0,1. ¿Cuál es el trabajo total realizado sobre el cuerpo?
Problema VII-3.
4. Calcular el trabajo realizado sobre una partícula de 0,2 kg de
peso (tomar g = 10 N /kg), ensartada en un alambre rígido (Fig.) al pasar
del punto A (3, 2, 1) m al B (6, 4, 2) m, en los casos siguientes:
1) Cuando sobre ella actúa una fuerza constante F 1
= i + 3j + 2k N.
2) Cuando sobre ella actúa una fuerza F = 5 N constante en módulo,
pero siempre dirigida hacia el origen O del sistema a que se refieren las
magnitudes dadas (fuerza central).
5. La ecuación de la fuerza que actúa sobre el bloque de 1 kg de
masa de la figura escrita en el SI es: F = 3x 2 + 5; si el coeficiente de rozamiento
entre el bloque y el suelo es 0,2, determinar el trabajo efectuado
por cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque y el trabajo total
efectuado al moverse desde x 1
= 2 m a x 2
= 5 m contados a partir de O.
Problema VII-5.
Problema VII-4.
Problema VII-6.
6. Un péndulo matemático (o ideal) consiste en una partícula de
masa m enganchada en un extremo de un hilo inextensible y sin peso; y
el otro extremo unido a un punto fijo O. Separamos un ángulo j de su
posición de equilibrio E, tomando el sentido positivo de éste el indicado
en la figura; h es el desplazamiento vertical respecto de su posición de
equilibrio. Determinar la suma de los trabajos de las fuerzas aplicadas a
la partícula desde que soltamos la partícula hasta que pasa por la posición
de equilibrio.
7. El vector de posición de una partícula de 5 kg de masa, expresado
en el SI, es: r = (t 3 – 2) i + (1 – t) j + (3t 2 – 6) k, calcular: 1) El momento
lineal de la partícula en el instante t = 2 s. 2) El momento angular
en el mismo instante. 3) El trabajo desarrollado en el tercer segundo.
8. Una partícula se mueve sobre una trayectoria dada por su ecuación
vectorial horaria escrita en el SI: r = (2t + 1) i + (t 2 + 1) j + t 3 k. La
fuerza de resistencia que se opone al movimiento viene dada, también
en el SI, por la ecuación: R = – kv con k = 1 N . s/m. Calcular el trabajo
de dicha fuerza resistente en el intervalo de tiempo de t = 1 s a t = 3 s.
9. Una partícula está sometida a una fuerza que, expresada en el SI,
tiene por ecuación: F = xy i, en la que x e y son las coordenadas del
punto del plano en las que se encuentra la partícula en cada instante.
Calcular el trabajo realizado por tal fuerza al desplazar la partícula del
punto A (0, 3) al B (3, 0), estando expresadas estas coordenadas en metros,
a lo largo de los siguientes caminos: 1 A lo largo de la recta que los
une. 2) A lo largo de un arco de circunferencia de centro el origen de coordenadas
y de extremos A y B.
10. Una partícula está sometida a una fuerza que expresada en el
SI tiene por ecuación: F = 6xy i + (3x 2 – 3y 2 ) j. Calcular el trabajo realizado
por tal fuerza al desplazar la partícula del punto O (0, 0) al A (1, 1),
estando expresadas estas coordenadas en metros, a lo largo de cada
uno de los siguientes caminos: 1) De O a B (1, 0) m y de B a A. 2) De
O a A a lo largo de la recta y = x. 3) De O a A a lo largo de la parábola
y = x 2 .
11. Para arrastrar un cuerpo de 100 kg por un terreno horizontal se
emplea una fuerza constante igual a la décima parte de su peso y formando
un ángulo de 45° con la horizontal, calcular: 1) El trabajo realizado
por tal fuerza en un recorrido de 100 m. 2) Si este trabajo se ha
realizado en 11 min 49 s, ¿qué potencia se habrá desarrollado?
12. Calcular la fuerza que se opone al movimiento de un coche
que desarrolla una potencia de 20 CV cuando va a 72 km/h en carretera
horizontal.
13. Suponiendo que un automóvil de 750 kg de peso necesite una
potencia de 20 CV para mantener una velocidad constante de 60 km/h
por una carretera horizontal, calcular: 1) El valor de la suma de todas
las resistencias que se oponen al movimiento. 2) La potencia necesaria
para que el automóvil suba a 60 km/h una pendiente del 10 %, es decir
10 m de ascenso por cada 100 m de recorrido. Se supone que las resistencias
por rozamiento son las mismas que en 1). 3) La potencia necesaria
para que baje una pendiente del 5 % a igual velocidad (60 km/h).
4) La pendiente que permitirá bajar a la velocidad de 60 km/h al mismo
coche sin que funcione el motor.
14. Un ciclista que pesa junto con su bicicleta 90 kg, corre por una
carretra. El conjunto de las resistencias pasivas que se oponen a su movimiento
viene dado por la fórmula R = 0,4 v 2 en el SI, siendo v la velocidad.
1) Calcular la potencia que debe desarrollar el ciclista para mantener
la velocidad de 27 km/h sobre una carretera horizontal. 2) Este ciclista
desciende, sin pedalear, una pendiente del 5 % (por cada 100 m
de carretera hay un desnivel de 5 m). Demostrar que alcanza una velocidad
límite y calcular su valor. 3) Si el ciclista desciende por una pendiente
del 8 % a 27 km/h, determinar la energía en calorías que es disipada
por los frenos en un recorrido de 100 m.
15. Un automóvil de masa M arranca en una pista horizontal y desarrolla
una potencia P constante. Despreciando la resistencia del aire,
obtener las expresiones de la aceleración, velocidad y posición, en función
del tiempo.
B) TEORÍA DE CAMPOS
16. Dado el vector: E = 2x 2 y i + 3xz 2 j – xz k y la magnitud
escalar: a = x 2 y + 3xyz – 3z 2 + 1, calcular el valor de las siguientes expresiones
en el punto A (1, 0, 2): 1) grad a. 2) div E. 3) rot E. 4) ∆a.
5) ∆E.
17. Dado el vector E = x 2 i – 2yz j + xz 2 k y el escalar
a = 2x 2 y – 3z, calcular en el punto A (1, 0, 2) las siguientes expresiones:
1) div (aE ). 2) E . grad a. 3) E × rot E. 4) E × grad a. 5) rot (aE ).
18. La función potencial de un campo vectorial viene dada por la
expresión: V = z 2 x + 2y – (x/3) + 5. 1) Calcular el vector que define dicho
campo. 2) Comprobar que el campo es irrotacional.
19. Obtener la expresión de la intensidad del campo de fuerzas definido
por el potencial V = k/r.
20. Demostrar que el vector E = 6xy i + (3x 2 – 3y 2 ) j + 7k representa
a un campo conservativo o, lo que es lo mismo, admite un potencial.
21. Dado el campo plano de fuerzas de intensidad E = a i – b j,
con a y b constantes: 1) Comprobar que es conservativo. 2) Obtener la
expresión del potencial V (x, y) tal que sea V (0, 0) = 0. 3) Verificar que
las líneas equipotenciales y las de campo son perpendiculares.
22. Hállese la circulación del vector E = (x + y 2 ) i – 3xy j + (x + z) 2 k
a lo largo de la parábola x = y 2 , z = 0 desde el punto A (1, 1, 0) al
B (2, 4, 0).
23. En un campo de fuerzas conservativo la energía potencial de
determinada partícula viene dada por la expresión: U = 3x + (y 2 /x) –
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