Fisica General Burbano

MECÁNICA CUÁNTICA 699
las leyes de Newton en la mecánica clásica), su mayor justificación es el acuerdo de sus conclusiones
con los resultados experimentales.
Considerando una función de onda unidimensional independiente del tiempo, de la forma:
y (x) = y 0
e ikx , obtenemos:
Aplicando la relación de De Broglie l = h/m vse obtiene k = 2 p/l = 2p mv/h, y siendo la
energía de la partícula E = U + T = U + mv 2 /2 se deduce:
2 2
2
y
ikx y 2 ikx y 2
= iky0
e ⇒ − k y e ⇒ + k y =
2
0
0
2
x
x
x
m v = 2 m( E − U)
2 2 m
⇒ k = (
2 E − U )
2 2 2
k = m v / h
h
2
de donde resulta inmediatamente:
2
y( x)
2 m
( ) y( ) 0
2 +
2 E − U x x =
x h
(31)
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que es la forma unidimensional de la ecuación (30), aplicable únicamente al cálculo de funciones
de onda en situaciones estacionarias.
PROBLEMAS: 50al 52.
XXVIII – 44. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Radiación en una
transición
Consideremos, en el caso unidimensional, una función de onda armónica no estacionaria, de
la forma:
i (kx – wt)
Y (x, t) = y 0
e
su primera derivada temporal es ∂ Y/∂ t = – i wY, y por 2pn = E/h, podemos poner:
La función Ψ (x, t) satisface la ecuación (31), como se puede verificar por sustitución, con lo
que introduciendo (32) en (31) tenemos:
2
que es la forma unidimensional de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Sus soluciones
son, según se ha dicho, de la forma
Ψ (x, t) = y (x) e –iwt = y (x) e –iEt/h (34)
donde y (x) es la solución de (31).
Si representamos mediante la función (34) un electrón en un estado no excitado, designando
este estado con el subíndice 1 y suponiendo por simplificación que y (x) es real, obtenemos para
la densidad de probabilidad:
2
Ψ
E Ψ = i h t
L
NM
Ψ( xt , ) 2 m Ψ( xt , )
+ ( ) Ψ ( , )
2 2 i h −U x x t
x h t
2
1
1 1
Ψ = Ψ ( x, t) Ψ*( x, t) = y ( x) e e = y ( x)
Puesto que esta densidad de probabilidad está distribuida por la región ocupada por el átomo,
podemos pensar que la expresión –e |Ψ| 2 representa la densidad de carga dentro del átomo
para unos valores de x y t dados. Según esto, la expresión anterior nos indica que la densidad de
carga está distribuida como y 2 , (como y 2 1 ( x)
1 ( x, y, z)
en tres dimensiones), pero sin cambiar
con el tiempo, es decir, en una forma estacionaria y sin radiar energía.
Ahora bien, cuando el electrón, después de ser excitado a un estado que designaremos con el
subíndice 2, se encuentra realizando una transición del estado excitado al fundamental, su función
de onda dependiente del tiempo será una combinación ponderada de las de ambos estados, es
decir:
−iE1t/ h
−iE2
t/
h
Ψ ( x, t) = A y ( x) e + A y ( x)
e
1 1 2 2
−iE t/ h −iE t/
h
donde los coeficientes A 1
y A 2
pueden variar de cero a uno según la influencia de cada estado en
la función de onda. En el estado no excitado es A 1
= 1 y A 2
= 0; en el estado excitado es A 1
= 0
y A 2
= 1, pero por ser éste inestable, durante la desexcitación A 2
disminuye y A 1
aumenta. Asi, en
un instante dado durante la desexcitación, la densidad de probabilidad es:
O
=
QP
0
2
1
(32)
(33)
2
1
2
1
2
2
2
2
iE1t/ h −iE2 t/ h −iE1t/ h iE2
t/
h
Ψ ( x, t) Ψ*( x, t) = A y ( x) + A y ( x) + A A y ( x) y ( x)
e e + e e
1 2 1 2