Fisica General Burbano

CINEMÁTICA RELATIVISTA 653
XXVII – 5. Las ecuaciones de transformación de Lorentz
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Si la transformación de Galileo: x = x′ +Vt
y = y′
z = z′
t = t′
no es la correcta ¿cómo tiene que ser la transformación? Estudiemos la solución matemática al
problema sometiéndole a las condiciones físicas relativistas.
1.º Supongamos que en dos sistemas inerciales S (O X Y Z) y S′ (O′ X′ Y′ Z′), en los que t y t′
son los tiempos correspondientes, en el instante inicial es: t = t′ y los orígenes O y O′ coinciden.
2.º A las ecuaciones de transformación tenemos que exigirles que sean lineales (no cuadráticas
por ejemplo) ya que a un acontecimiento en S le tiene que corresponder un solo acontecimiento
en S′ (y no dos como ocurriría si fueran cuadráticas). Teniendo en cuenta lo anterior las ecuaciones
de transformación deben escribirse:
x = a 11
x′+a 12
y′+a 13
z′+a 14
t′
y = a 21
x′+a 22
y′+a 23
z′+a 24
t′
(3)
z = a 31
x′+a 32
y′+a 33
z′+a 34
t′
t = a 41
x′+a 42
y′+a 43
z′+a 44
t′
3.º Supongamos que el sistema S′ está animado de un movimiento de traslación uniforme
con velocidad V según el eje OX con relación a S (Fig. XXVII-3), teniendo en cuenta que cualesquiera
que sean x′, z′ y t′ se tendrá que verificar: y = 0 ⇒ y′=0
y que cualesquiera que sean x′ y′ y t′, tendrá que verificarse: z = 0 ⇒ z′ =0
obtenemos: a 21
= a 23
= a 24
= a 31
= a 32
= a 34
= 0
Por otra parte las ecuaciones en x y t tienen que ser independientes de y′ y z′ puesto que todos
los puntos de un plano perpendicular a OX son equivalentes, con lo que: a 12
= a 13
= a 42
= a 43
= 0
con estas condiciones las ecuaciones (3) quedan: x = a 11
x′+a 14
t′
y = a 22
y′ (4)
z = a 33
z′
t = a 41
x′+a 44
t′
4.º Las relaciones entre y e y′ así como entre z y z′ tienen que ser independientes de la velocidad;
con lo que si se invierten los papeles de los sistemas de referencia, (principio de relatividad),
deben seguir siendo las mismas por razón de simetría, es decir: y′ =a 22
y z′=a 33
z
luego al compararlas con la 2ª y 3ª de las (4) nos queda:
5.º Un suceso que se realiza en S y en el plano YZ, es decir, en un punto en que x = 0, y en
cualquier instante, con respecto a S′ se estará realizando en: x′ =–Vt′
sustituyendo en la 1ª de las (4) nos quedará: 0 = –a 11
Vt′+a 14
t′ ⇒ a 14
= Va 11
luego: x = a 11
(x′+Vt′) (5)
Invirtiendo el papel de los sistemas y puesto que la velocidad del sistema S con relación a S′ es
–V en la dirección OX; se ha de cumplir:
x′=a 11
(x – Vt) (6)
6.º Pongamos ahora la condición de que una onda luminosa esférica abandona el origen
común en el tiempo inicial común t = t′ =0; aplicando el principio de la invariancia de la velocidad
de la luz c respecto de los sistemas de referencia y para cualquier instante posterior exige que se
cumpla:
o lo que es lo mismo:
c =
2 2 2 2 2 2
x + y + z
t
x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2
x′ + y′ + z′
t′
x′ 2 + y′ 2 + z′ 2 = c′ 2 t′ 2 (8)
que nos indican que la ecuación del frente de onda es la misma en ambos sistemas; en particular
en OX y OX′ se tendrá:
x = ct x′=ct′
sustituyendo en (5) y (6) nos quedan: ct = a 11
(ct′+Vt′) = a 11
t′ (c + V )
ct′= a 11
(ct – Vt ) = a 11
t (c – V )
multiplicándolas miembro a miembro y simplificando:
=
a22 = a33 = 1 ⇒
y = y′
z = z′
(7)
Fig. XXVII-3.– El sistema S′ (X′ Y′
Z′) está animado de un movimiento
de traslación uniforme con velocidad
V → en la dirección del eje OX con relación
a S (X Y Z).
Fig. XXVII-4.– Onda esférica abandonando
el origen común en el tiempo
inicial t = t′ =0.