Fisica General Burbano

PROBLEMAS 415
Para demostrar que la primera integral de la expresión (20) es nula, primeramente apliquémosle
el teorema de la divergencia (Teorema de Ostrogradsky-Gauss, párrafo VII-10), transformándola
en una integral de superficie que limita al volumen v, quedándonos:
z z
Ñ ?( V E)
dv = V E?
dA
v
A
Como hemos dicho, v es cualquier volumen que encierra a la distribución, luego podemos libremente
elegir la superficie límite A tomándola muy alejada del sistema; para el caso de monopolos
eléctricos (sistema de cargas puntuales, párrafos XVIII-17 y 29. 3) E decrece para la distribución
como 1/r 2 y V también decrece como 1/r, mientras que para los dipolos eléctricos (párrafo
XVIII-32) la intensidad del campo eléctrico decrece como 1/r 3 y el potencial como 1/r 2 , y como el
área de la superficie aumenta según r 2 , el producto V E · dA como mínimo disminuye según 1/r 3
y se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando la superficie A lo suficientemente alejada,
y su integral se anulará.
En el capítulo siguiente llegaremos a la expresión (21) por un método más sencillo, aunque
menos formal.
PROBLEMAS: 87 al 91.
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PROBLEMAS
A) PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE
LA ELECTROSTÁTICA
1. Calcular la carga que deben tener dos partículas para que colocadas
en el vacío y a la distancia de 1 m se atraigan o repelan con una
fuerza igual a 91,843 t.
2. Dos cuerpos cargados con 1 C se repelen entre sí en el vacío con
una fuerza de 102 kp. ¿A qué distancia están uno de otro?
3. De uno de los platillos de una balanza se cuelga un cuerpo cargado
con 1 000 UEE de carga positiva; en el otro platillo se pone una
tara para equilibrar la masa del cuerpo. En estas condiciones se coloca
debajo del cuerpo cargado otro también cargado positivamente, de forma
que la distancia entre sus centros sea 1 m. Siendo la carga eléctrica
de este último 0,0098 C, calcular qué pesa se debe poner en el platillo
correspondiente al cuerpo para que la balanza siga en equilibrio. Considerar
la permitividad del aire igual a la del vacío.
4. Un cuerpo de 100 g de masa está cargado con 9 800 UEE. ¿A
qué distancia sobre él debe colocarse otro cuerpo cargado con 100 000
UEE de signo contrario, para que el primero no caiga por la acción de su
peso? Se supone que la experiencia se realiza en el vacío.
5. Separamos los electrones de los protones de 1 mol de H 2
y los
situamos a una distancia de 10 3 km. Determínese la fuerza con que se
atraen. (Carga del protón: 1,6 × 19 – 19 C. Número de Avogadro:
6,02 × 10 23 .)
6. De dos esferas iguales de plomo de radio 1 cm, que se encuentran
a 1 m de distancia, se le quita a la primera un electrón por átomo,
que se traslada a la segunda esfera; determinar la fuerza con que ambas
se atraen. (DATOS: Mas atómica del plomo: 207, su densidad 11,3 g/cm 3 ,
número de Avogadro: 6,02 × 10 23 , carga del electrón: – 1,6 × 10 – 19 C.)
7. Dos partículas alfa están separadas una distancia de 10 – 11 cm.
Calcular la fuerza electrostática con que se repelen, la fuerza gravitatoria
con que se atraen y comparar ambas entre sí. DATOS: K 0
= 9 × 10 9 N .
m 2 /C 2 , e = 1,6 × 10 – 19 C, G = 6,67 × 10 –11 N . m 2 /kg 2 . Masa de una
partícula a: m = 6,68 × 10 – 27 kg.
8. Calcular cuántas veces es menor la atracción gravitatoria que la
repulsión electrostática entre dos núcleos de hidrógeno. DATOS: Masa del
átomo de hidrógeno: 1,67 × 10 –27 kg. Carga del núcleo de hidrógeno:
1,6 × 10 – 19 C. Constante de la gravitación: 6,67 × 10 – 11 N · m 2 /kg 2 .
Constante de la ley de Coulomb: 9 × 10 9 N . m 2 /C 2 .
9. El modelo atómico de Bohr para el átomo de hidrógeno, supone
que el electrón se mueve en órbita circular de 5,28 × 10 – 11 m de radio
alrededor del protrón, que lo retiene por efecto de las fuerzas eléctricas.
Determinar: 1) El número de revoluciones por segundo que da el electrón
(e = 1,6 × 10 – 19 C; m = 9,1 × 10 – 31 kg). 2) El momento angular del
sistema. 3) El radio que tendría el átomo de hidrógeno, si su movimiento
tuviera el mismo momento angular, pero fuera debido únicamente a las
fuerzas gravitacionales (masa del protón: m′ =1,67 × 10 – 27 kg).
10. Dos esferas iguales de radio 1 cm y masa 9,81 g están suspendidas
del mismo punto por medio de sendos hilos de seda de longitud
19 cm. Ambas esferas están cargadas negativamente con la misma
carga eléctrica en magnitud. ¿Cuánto vale esta carga si en el equilibrio
el ángulo que forman los dos hilos es de 90°? ¿A cuántos electrones
equivale la carga contenida en cada esfera? ¿Cuál es la fuerza de
gravitación que existe entre las esferas en el equilibrio? Carga del
electrón = 1,6 × 10 – 19 C. G = constante de gravitación universal = 6,67
× 10 – 11 N . m 2 /kg 2 . K 0
= 9 × 10 9 N . m 2 /C 2 .
11. La fuerza con que se atraen dos cuerpos iguales cargados
cuando se encuentran a una distancia de 3 m es de 1 N. Se ponen en
contacto y la carga se distribuye por igual entre los dos cuerpos. Colocándolos
a continuación a la misma distancia, se repelen con una fuerza
de 2 N. Calcular la carga que inicialmente tenían los dos cuerpos.
12. Calcular la fuerza que actúa sobre un dipolo eléctrico de longitud
l sumergido en el campo eléctrico creado por una carga Q. Suponer
que r ? l (ver figura).
Problema XVIII-12.
Problema XVIII-14.
13. Calcular la fuerza que actúa sobre una carga de 1 µC colocada
en (0, 4) m debida a la siguiente distribución: en (0, 0), una carga Q 1
=
= – 3 µC; en (4, 0) m, una carga Q 2
= 4 µC, y en (1, 1) m, una carga
Q 3
= 2 µC.
14. El cuadrado de la figura tiene 1 m de lado. Determinar la fuerza
que actúa sobre la carga situada en el vértice C.
15. Dos cargas puntuales de – 200 y 300 µC se encuentran situadas
en los puntos A (1, 2, 1) m y B (3, 0, 2) m, respectivamente. Calcular
la fuerza que ejercen sobre una tercera de 100 µC situada en C (– 1,
2, 3) m.
16. Una partícula de masa m y carga q se encuentra en el punto
medio de la línea que une otras dos, cargadas con Q, fijas y situadas a
una distancia r la una de la otra. La partícula m está obligada a permanecer
en la línea que une las dos cargas Q; si separamos de la posición
de equilibrio estable a q una distancia A = r, determinar su período de
oscilación.