Fisica General Burbano

CORRECCIONES AL MODELO DE BOHR. NÚMEROSCUÁNTICOS 677
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como bolita dando vueltas en torno al núcleo. En la mecánica cuántica el electrón se describe mediante
una función matemática que se denomina función de onda y que no tiene significado físico
directo (no es observable como lo son las ondas clásicas) pero cuyo cuadrado nos mide, como se
verá más adelante, la probabilidad de que el electrón se encuentre en un punto e instante determinados.
En lugar de hablar de partículas y de trayectorias se habla de probabilidad. Y eso es así, no
porque la nueva teoría sea incompleta sino porque la Naturaleza a escala microscópica no es determinista.
En el primer cuarto de este siglo las teorías relativista y cuántica supusieron dos auténticas revoluciones
frente a la mecánica clásica; con todo no la invalidan sino que la engloban, extendiéndose
a unos campos en que ésta no es aplicable y coincidiendo con ella en otros. Hay que señalar
que las dos primeras fueron conjugadas por Paul A. M. Dirac (1902-1984) en la Mecánica Cuántica
Relativista.
A pesar de todo lo dicho, pensamos que el aparato matemático que supone el formalismo
cuántico no está al alcance de un estudiante de Física general. Por esta razón continuaremos por
ahora con la mezcla de conceptos clásicos y cuánticos que supone el modelo de Bohr (el electrón
vuelve a ser una bolita), para esbozar en la última parte del capítulo los conceptos cuánticos básicos.
XXVIII – 11. Modificación de Sommerfeid
Observando ciertas rayas del espectro del hidrógeno con aparatos de gran resolución se ve
que aparecen formadas por grupos de líneas muy juntas, y algunas se desdoblan en varias componentes
cuando se aplica un campo magnético. La separación de una línea en varias indica que los
niveles de energía están en realidad constituidos por subniveles con energía muy parecida.
En 1916, Arnold Sommerfeld (1868-1951) sugirió que las órbitas electrónicas pueden ser elípticas,
con el núcleo en un foco de la elipse, de forma que para un nivel n existe además de la órbita
circular la posibilidad de distintas órbitas con distinta excentricidad cuyos ejes mayores tienen
las mismas dimensiones que el diámetro de la órbita circular (Fig. XXVIII-9).
En las órbitas keplerianas la energía de la partícula es función del semieje mayor, pero no de la
excentricidad (cuestión XI-14), con lo que en nuestro caso en todas ellas tendría el electrón la misma
energía, se dice entonces que EL NIVEL ESTÁ DEGENERADO. Para evitar esto y explicar el desdoblamiento
espectral, Sommerfield aplicó la teoría relativista al electrón y demostró que, por tener
distintas velocidades en distintos puntos de la trayectoria y variar por tanto su masa a lo largo de la
órbita, la trayectoria no es una elipse perfecta sino que se convierte en una roseta (Fig. XXVIII-10),
que puede considerarse como una elipse cuyo eje mayor verifica una precesión en torno a un eje
perpendicular al plano de la trayectoria por el foco. La energía correspondiente a cada órbita depende
así también de su semieje menor, y a través de él, del momento angular orbital del electrón.
Puesto que en este modelo seguimos con la imagen, ya superada, del electrón como partícula
puntual clásica, evitaremos el desarrollo de los cálculos realizados por Sommerfeld; basta decir que
conducen a la aparición de un segundo número cuántico k que puede tomar los valores enteros 1,
2, ..., n. La mecánica cuántica demuestra que el momento angular orbital L está cuantificado y los
únicos valores posibles para los diferentes estados vienen dados por
L = h l( l + 1)
donde l es el NÚMERO CUÁNTICO ORBITAL o SECUNDARIO, que para
cada nivel n puede valer l = 0, 1, 2, ..., (n – 1). Este número l
puede identificarse con k – 1 de Sommerfeld, se designa con
las letras s (l = 0), p (l = 1), d (l = 2), f (l = 3), ..., con notación
tomada de la espectroscopía, y corresponde a subniveles de mayor
energía para mayor l.
Al comparar las predicciones de Sommerfeld con los resultados
experimentales de las series del hidrógeno y algunas de las
del He + (átomo de helio ionizado, con un electrón) se observó
que la teoría permitía mayor número de rayas de las que en realidad
aparecían, lo cual se salvó con la introducción de una regla
de selección que limita el número de transiciones a las que verifican
∆k =±1 (Fig. XXVIII-11).
De nuevo hemos de apuntar que la teoría cuántica también
predice este resultado y obtiene además que las líneas más intensas
son las que verifican las siguientes REGLAS DE SELECCIÓN:
∆ l =± 1
∆m
= 0 ó ∆m
= ± 1
l
(17)
donde m l
es un tercer número cuántico que se introducirá a continuación.
l
(16)
Fig. XXVIII-9.– Órbitas electrónicas
(n = 4; k = 1, 2, 3, 4) del modelo de
Sommerfeld. Los semiejes mayores
de las elípticas son iguales que el radio
de la circular.
Fig. XXVIII-10.– El tratamiento relativista
pone de manifiesto una precesión
de la elipse en torno a un eje
perpendicular a su plano por un foco.
Fig. XXVIII-11.– Las líneas indicadas son las importantes de las series de
Lyman, Balmer y Paschen. Los saltos no se producen entre dos órbitas
cualesquiera; una regla de selección es Dl =± 1. La notación indica n
con números y l con letras.