Fisica General Burbano

POTENCIAL GRAVITATORIO 235
La función V(P) se define como FUNCIÓN POTENCIAL GRAVITATORIO en cualquier punto del campo.
Obsérvese que esta función V(P) está unívocamente determinada salvo una constante que es
el valor de V 2
. Para determinar unívocamente el valor de V (P) en cada punto hay que asignar un
valor arbitrario al potencial de algún punto, la hipótesis que normalmente hacemos es tomar como
potencial cero el de un punto infinitamente alejado. Es decir, si hacemos: 2 → ∞ implica que
V 2
= 0 por lo cual el POTENCIAL EN EL PUNTO (P) será:
z∞
r
r
z∞
V1 ( P)= g ? dr = − g ? dr
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interpretando el valor del POTENCIAL EN UN PUNTO como «el trabajo que es necesario realizar para
trasladar la unidad de masa desde el infinito a dicho punto» o bien «menos el trabajo que realiza el
campo al trasladar la unidad de masa desde el infinito a dicho punto».
Hasta aquí no hemos considerado la distribución de masa que crea el campo. Podemos calcular
EL POTENCIAL EN UN PUNTO EN FUNCIÓN DE LAS DISTINTAS DISTRIBUCIONES DE MASA que crean el campo,
sin más que tener en cuenta que U = m′V y las ecuaciones (7) y (8), obteniéndose:
z z
V P G m i
r()
r
( ) =− ∑ V( P)
=− G dv =−G dm ri V r
V r
El problema fundamental que nos planteamos en el estudio del campo gravitatorio es el calcular
su intensidad debida a una distribución de masa. El conocimiento de la función potencial V(P)
nos facilita una vía general para calcular campos gravitatorios. Téngase en cuenta que el campo es
una función vectorial, g (g x
, g y
, g z
) y para determinarlo será preciso calcular tres integrales para
cada término de la ecuación general de g(P) (3). En el mejor de los casos este es un procedimiento
tedioso; en algunos es casi imposible integrar. La ecuación anterior, por otra parte, es escalar e
implica sólo una suma o una integral por término; además los denominadores que intervienen en
esta ecuación son todos de la forma r en vez de r 2 que simplifica las integrales en comparación
con las de la ecuación de g(P). Además la operación de derivar V(P) para obtener g(P) es (si existe)
siempre muy sencilla y por supuesto más que la integración. Consecuencia de lo expuesto es
que para resolver el problema fundamental se obtenga primeramente el V(P) y luego g(P).
PROBLEMAS: 32al 39.
XI – 9. Líneas de fuerza y superficies equipotenciales
Hemos definido la intensidad del campo gravitatorio asignando un valor a cierta variable física
en todos los puntos del espacio, en notación vectorial g(P) ≡ g(r) ≡ g(x, y, z), y tal magnitud vectorial
puede sustituirse por tres funciones escalares g x
, g y
y g z
; es decir, un campo gravitatorio g
puede describirse en coordenadas cartesianas como:
g (r) = g x
(x, y, z) i + g y
(x, y, z) j + g z
(x, y, z) k
El concepto básico de campo fue desarrollado por Michael Faraday (1791-1867) y utilizó las
«líneas de campo» para hacer una representación gráfica de las fuerzas que actúan en el espacio
que rodea a un cuerpo; nuestro concepto matemático de campo fue una abstracción posterior de
su propia representación gráfica, y las «líneas de campo» siguen siendo una herramienta muy útil a
la hora de resolver problemas de gravitación.
LÍNEAS DE FUERZA son las trayectorias que seguiría una partícula, sometida a la influencia del
campo, en una sucesión de caminos elementales, partiendo, en todos ellos, del reposo.
Imaginemos una partícula que abandonamos en un campo gravitatorio. Comenzará a moverse
por la influencia del campo, al estar sometida a la fuerza dada por la fórmula (2). En cuanto ha iniciado
su movimiento la detenemos, volviendo a abandonarla de nuevo y a detenerla. De esta forma
describiría una trayectoria —sucesión indefinida de espacios elementales— que se llama LÍNEA
DE FUERZA
«El vector intensidad del campo es siempre tangente a las líneas de fuerza».
Esta propiedad podemos expresarla:
g × dr = 0
siempre que dr pertenezca a una línea de fuerza. Esta expresión nos proporciona un procedimiento
para determinar la ecuación de las líneas de campo.
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES son las que tienen el mismo potencial en todos sus puntos.
Las superficies equipotenciales y la dirección del peso (líneas de fuerza) en el campo gravitatorio
terrestre, son perpendiculares entre sí.
Fig. XI-13.– Líneas de fuerza y superficies
equipotenciales del campo
gravitatorio terrestre (no se consideran
los efectos producidos por la
Luna, el Sol...).