Fisica General Burbano

MAGNITUDES DINÁMICAS ANGULARES DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS 173
el primer sumando es la resultante de todos los momentos de las fuerzas exteriores respecto de O,
El segundo sumando es la resultante de los momentos de todas las fuerzas interiores respecto de
O, y resultar ser nulo; en efecto: centremos el problema en el estudio de dos partículas cualesquiera
del sistema, la m i
y la m j
, (Fig. VIII-5), como F ij
= –F ji
, la suma de los momentos respecto a O
de estas fuerzas interiores es:
r i
× F ij
+ r j
× F ji
= r i
× F ij
– r j
× F ij
= (r i
– r j
) × F ij
= r ij
× F ij
= 0
por ser estos dos últimos vectores paralelos; y puesto que en el sistema, todas las fuerzas interiores
aparecen por parejas, el momento total interno será nulo, es decir:
∑ N = ∑ r × ∑ F = 0
i
int
i
Teniendo en cuenta todo lo anterior y llamando N ext
a la suma de los momentos de las fuerzas
exteriores respecto de O, la expresión (3) resulta:
i
j
ij
N
ext
dJ
= = J
.
dt
(4)
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que es la SEGUNDA ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO para un sistema de partículas y que podemos expresar
de la forma:
«La variación temporal del momento angular de un sistema de partículas respecto a un
punto origen de un sistema inercial, es igual al momento total de las fuerzas exteriores aplicadas
al sistema, referido al mismo punto que el momento angular».
Según todo lo anterior:
«Las fuerzas interiores no pueden modificar el momento angular de un sistema de partículas».
Si el momento total de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema es nulo, entonces:
.
Next = 0 ⇒ J = 0 ⇒ J = cte
pudiéndose enunciar el correspondiente TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR:
«Si el momento total de las fuerzas exteriores, que actúan sobre un sistema de partículas,
respecto de un punto O es nulo, entonces el momento angular del sistema es constante con
el tiempo respecto de O».
Obsérvese que este teorema no exige necesariamente que se mantengan constantes los momentos
angulares de las distintas partículas que componen el sistema; sin embargo sus variaciones
no pueden ser arbitrarias, no son independientes unas de otras, puesto que su suma total tiene
que ser cero.
Para un sistema aislado el anterior teorema puede enunciarse como el PRINCIPIO DE CONSERVA-
CIÓN DEL MOMENTO ANGULAR:
«El momento angular de un sistema aislado permanece constante en el tiempo».
Este principio, los de conservación de la energía y del momento lineal y el de la conservación
de la carga eléctrica, que enunciaremos en los capítulos de Electromagnetismo, son universales y
se verifican en todos los procesos que ocurren en el Universo, por este motivo se les considera más
básicos que las leyes de Newton.
VIII – 9. Momentos angulares orbital e interno (spin)
Vamos a determinar la relación que existe entre el momento angular de un sistema de partículas,
con el momento angular de una partícula de masa M =Σm i
situada en el CM y el momento
angular de las partículas medido desde el sistema CM. Para lo cual, teniendo en cuenta la formulación
obtenida en el párrafo VIII-4, tendremos:
J =Σr i
× m i
v i
=Σ(R + r′ i
) × m i
(v + v′ i
)
y aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial nos queda:
J =ΣR × m i
v +ΣR × m i
v′ i
+Σr′ i
× m i
v +Σr′ i
× m i
v′ i
operando en el segundo y tercer sumando de la ecuación anterior, nos dan cero; en efecto:
Σ R × m i
v′ i
= R ×Σm i
v′ i
= 0 por ser Σ m i
v′ i
= p′ =0
Fig. VIII-5.– Dibujamos solamente
las fuerzas de interacción entre las
partículas m i
y m j
.
Σ r′ i
× m i
v =Σm i
r′ i
× v = M R′ ×v = 0 por ser R′ =0