Fisica General Burbano

CORRIENTE ELÉCTRICA: INTENSIDAD Y RESISTENCIA. EFECTO JOULE 445
dI = qNv · dA (2)
es evidente que si existe más de un tipo de portadores de carga, habrá una contribución de la forma
(2) de cada clase de portador, luego en general:
dI = [Σ N i
q i
v i
] · dA (3)
al vector:
J =∑N q v
i i i
se le llama DENSIDAD DE CORRIENTE DE CONDUCCIÓN, este nombre se debe a que es la intensidad por
unidad de superficie. La ecuación (3) la podemos escribir:
dI
= J ? dA
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expresión que nos determina la intensidad de corriente a través de una superficie elemental dA; y
por tanto, la corriente que pasa por una superficie arbitraria A vendrá dada por:
dQ
I = =zJ ? d A
dt
ecuación que representa el flujo del vector densidad de corriente J a través de una superficie A, o
lo que es lo mismo el flujo de cargas por unidad de tiempo a través de la superficie A.
Consideremos la ecuación (4) aplicada a una superficie cerrada A que encierra a un volumen
V (Fig. XX-5). Supongamos el hecho de que en el volumen V penetran más portadores de carga
positiva de los que salen de él, produciéndose una acumulación de carga positiva en su interior,
entonces: tanto la densidad de corriente J como la densidad de carga r son dependientes del
tiempo. La integral de superficie de J extendida a A nos representará el flujo neto de carga por
unidad de tiempo a través de esta superficie cerrada; entendiendo por flujo neto, las cargas que
por unidad de tiempo salen fuera del volumen menos las que penetran en él, que en el caso que
hemos considerado será negativo*; es decir:
z z
I =− J ? dA =− div J dV
(5)
A
V
esta última integral se ha obtenido por aplicación del teorema de la divergencia.
Por otra parte, la carga total en el interior de V en cualquier instante vendrá dada por:
y por tanto el aumento de carga en el volumen V en el tiempo dt, será:
Q
=zr dV
dQ d
I = =zr dV
dt dt
como consideramos al volumen V como fijo y r es una función de punto y del tiempo, la derivada
respecto del tiempo influye solamente sobre la función r(x, y, z, t), transformándose en derivada
parcial respecto del tiempo cuando se introduce dentro del signo integral:
I =zr
dV
t
V
en virtud del principio de conservación de la carga («la carga ni se crea ni se destruye») las cantidad
(5) y (7) tendrán que ser iguales:
z z
r F I
− = ⇒ + =
HG KJ zdiv JdV
divJ
t dV
r
dV 0
V
V
V t
V
como hemos tomado un volumen arbitrario V, la única forma válida es que el integrando se anule
en cada punto:
A
V
r
t + divJ = 0
(4)
(6)
(7)
(8)
Fig. XX-5.– En el caso de la figura
adjunta se ha considerado que penetran
en el volumen V más portadores
de carga positiva que los que salen
de él, o lo que se lo mismo que:
I 1
+ I 2
+ I 3
> I′ 1
+ I′ 2
.
* En caso contrario lo consideramos positivo y por tanto la carga en el interior decrecería y la ecuación (5) la tomaríamos
como negativa, llegando a las mismas conclusiones. Todo esto será exactamente al revés, si los portadores de carga son negativos.