Fisica General Burbano

ENERGÍA EN LOS OSCILADORES. RESONANCIA 157
mg .. d x g
F = ma ⇒ − x = mx ⇒ + x =
l
dt l
el movimiento es por consiguiente un MAS, en el que:
2
2
0
w
2
2
g 4p
= = ⇒ T = 2p
2
l T
l
g
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Este valor del período obtenido confundiendo el seno con el ángulo, difiere en menos de un 0,5%
del valor correcto, cuando el ángulo, a un lado y otro de la posición de equilibrio, no rebasa los
15º, es del 0,8% para 20º y aumenta rápidamente a partir de estos valores.
Si A es la amplitud del movimiento (máximo arco, contado a partir de la posición de equilibrio),
la ecuación del movimiento es:
PROBLEMAS: 93al 99.
F I
sen
HG j
K J
g
xt ()= A t +
l
VII – 29. Vibraciones forzadas
Hemos analizado, hasta ahora, las oscilaciones naturales (propias) de un cuerpo, o lo que es lo
mismo, aquellas que se producen cuando el cuerpo es sacado de su posición de equilibrio y se
suelta, produciéndose oscilaciones libres (en condiciones ideales), y oscilaciones amortiguadas en
presencia de las fuerzas de fricción proporcionales a su velocidad. Nos proponemos ahora estudiar
el caso en que el oscilador está sometido, además, a una fuerza periódica externa; el trabajo que
realiza dicha fuerza externa sobre el sistema aporta una energía desde el exterior, impidiendo que
las oscilaciones se amortigüen a pesar de las fuerzas de rozamiento. A las oscilaciones resultantes
las llamaremos OSCILACIONES FORZADAS. (Así por ejemplo: un niño en un columpio es un péndulo
que posee una determinada frecuencia propia, si es empujado a intervalos de tiempo adecuados,
puede hacerse que el columpio se mueva con gran amplitud. También son ejemplo, las vibraciones
de un puente por la influencia de los soldados que marchan por él al ser golpeado por sus botas al
unísono, y las vibraciones del chasis de un motor debidas a los impulsos periódicos de una irregularidad
en su eje).
Supongamos un cuerpo al que apartamos de su posición de equilibrio y está sometido a las siguientes
fuerzas dirigidas sobre el eje OX: Fuerza recuperadora = – Kx. Fuerza de rozamiento de
tipo viscoso = – Rv. Fuerza exterior periódica y variable armónicamente, según la ecuación: F =
F 0
cos wt en la que F 0
es el máximo valor de la fuerza y w = 2p/T = 2p n; siendo T y n el período
y la frecuencia de variación de tal fuerza. La ecuación fundamental de la dinámica nos determina:
−Kx− Rv + F t = ma ⇒ F t = m d x + R dx
.. .
0 cos w 0 cos w + Kx ⇔ F t = mx+ Rx + Kx
2 0 cos w
dt dt
El primer miembro de esta ecuación diferencial es una función armónica del tiempo, cada uno
de los términos del segundo habrá de serlo y como m, R y K son constantes, la solución es del tipo*:
x = A cos ( wt
− j)
en la que A y j son constantes a determinar en función de las características del problema
(K, R, F 0
y w). Comparando esta última expresión con la ecuación de la fuerza impulsora, vemos
que tanto x como F oscilan con la misma frecuencia w pero con diferencia de fase j. Hallemos la
primera y segunda derivada de x con respecto a t:
F I
HG K J = = − −
. ..
v = x = − Aw wt − j = Aw wt − j +
p 2
sen ( ) cos a x Aw cos ( wt
j)
2
Sustituyendo el valor de x y sus derivadas en la ecuación diferencial (9) obtenemos:
2
F0
cos wt = A( K − mw ) cos ( wt − j) + A Rw cos wt
− j +
p
2
2
Realicemos con esta expresión la construcción de Fresnel. Las proyecciones sobre el eje X de
los dos vectores componentes nos determinan los dos términos del último miembro de la ecuación
anterior, la proyección de la resultante es el primer miembro de tal ecuación. De la Fig. VII-29 obtenemos:
F
HG
I K J
(10)
Fig. VII-27.– El péndulo simple oscila
con MAS en torno a la posición de
equilibrio para pequeñas oscilaciones.
La tensión T y el peso mg son
las fuerzas que actúan sobre la partícula,
la T no realiza trabajo puesto
que es perpendicular a la trayectoria
A → B → A → C → A ..., luego la
única que realiza trabajo es mg, que
es conservativa, verificándose en
cualquiera que sean los puntos de la
trayectoria que T + U = cte.
(9)
* Las funciones armónicas que podríamos escoger libremente son: x = A sen (w t ± j).