Fisica General Burbano

ENERGÍA EN LOS OSCILADORES. RESONANCIA 155
El trabajo realizado para estirar el extremo libre desde la posición inicial x i
, hasta una posición
final x f
(siempre que no se produzca una deformación permanente del muelle) es la suma (integral)
de todos los trabajos elementales realizados en tal proceso:
z z
1
x
f
f
x
1
f
Wx
= Fdx = Kxdx = Kxf
− Kx
i
i
2 2
xi
x
xi
2 2
En el caso de que llevemos al extremo libre desde su posición natural x i
= 0, hasta una posición
final x f
= x, el trabajo realizado por la fuerza aplicada valdrá:
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
La fuerza elástica que el muelle ejerce sobre la partícula F m
es igual que la que hemos empleado
pero de signo contrario, en consecuencia
z z
= = − = −
x
1
Wm
Fmdx Kxdx Kx
2
0
W
x
0
1
= Kx
2
siendo ésta conservativa, y tomando en la posición de equilibrio la energía potencial nula U (O) = 0,
en la posición x, la partícula tendrá una energía potencial:
Wm = U ( O ) − U ( x ) = − 1
Kx ⇒ U ( x ) = 1
Kx = 1
mw
x
2
2 2
2 2 2 2
Teniendo en cuenta el valor de x para un MAS, la variación de la energía potencial en función
del tiempo será:
1 2 2 2
Ut () = mw A sen ( wt+
j)
2
En la Fig. VI-13 del oscilador masa-muelle vertical, si se toma como energía potencial cero en
el punto O (a) entonces U m
(O) = 0 e y = 0 y en una posición de oscilación (c) la energía potencial
será Ky 2 /2. Hacemos el mismo cambio de sistema de referencia que hacíamos en el párrafo
VI-8 referente a tal figura, es decir: tomamos el referencial de energía potencial cero en la posición
de equilibrio O′ (b) , en este caso la energía potencial del muelle toma el valor:
1
2 1 2
Um
= K ( y′ + y0)
− Ky0
2
2 1 2
mg
⇒ Um
= Ky′ + mgy′
k = ⇒ ky = mg 2
0
y0
siendo la energía potencial gravitatoria respecto a O′ : U g
= – mg y′, nos queda para la energía potencial
total del sistema masa-muelle:
1 2
U = Um
+ Ug
= ky′
2
«En un sistema masa-muelle vertical, para la medida de su energía potencial, se prescinde
de la influencia gravitatoria si tomamos energía potencial cero en su posición de equilibrio».
VII – 27. Energía mecánica de una partícula que posee movimiento vibratorio
armónico simple. Intensidad
LA ENERGÍA CINÉTICA de un punto material de masa m que oscila con MAS es:
1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2
T( x) = mv = mA w cos ( wt + j) = mw
( A − x ) ⇔ T( x) = K( A − x )
2 2
2
2
La energía cinética es máxima cuando la velocidad es máxima [cos (wt + j) = 1] es decir,
cuando el móvil pasa por su posición de equilibrio; su valor es, entonces:
T = 1 mA
2
Como: x = A sen (wt + j), LA ENERGÍA POTENCIAL de la partícula de masa m que oscila con un
MAS es:
0
x
2
2 2
w
2
(7)
Fig. VII-24.– Trabajo realizado por una
fuerza externa que estira a un muelle.
1
Ux ( ) = Kx 2 1
= mw 2 A 2 sen
2 ( wt+
j)
2 2
(8)