Fisica General Burbano

HIDROSTÁTICA 255
XII – 8. Ecuaciones fundamentales de la estática de fluidos
Consideremos un volumen elemental dt en el interior de un fluido en equilibrio, que tenga forma
de paralelepípedo rectángulo de aristas dx, dy y dz (Fig. XII-12) entonces:
dt = dx dy dz
si p = p (x, y, z) es la presión (función de punto) que el fluido ejerce sobre el punto M (x, y, z) situado
en el centro del paralelepípedo, entonces la fuerza debida a la presión sobre la cara anterior
del dibujo será:
y sobre la cara posterior:
d F
luego la componente de las fuerzas de presión según el eje OX vale:
1
d F
2
F
HG
p dx
=− p +
x 2
F
HG
p dx
= p −
x 2
I K J
I K J
dy dz i
dy dz i
Fig. XII-12.– Volumen elemental en
el interior de un fluido.
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De la misma forma se obtendrá:
p
d
y d d p
Fy
=− t j Fz
=−
z d tk
luego la fuerza debida a la presión que actúa sobre el paralelepípedo resulta:
Llamando r a la densidad del líquido y dM a la masa del paralelepípedo; como:
que sustituida en (2) nos queda:
p
p
dFx
= dF1 + dF2
=− dx dy dz i =−
x x d ti
F
HG
p p p
d F =− i + j + k dt
=−dt grad p
x y z KJ
dM
dM
r = ⇔ dt
=
dt
r
dM
dF =− grad p r
como el fluido lo hemos considerado en equilibrio, la suma de las fuerzas de presión y las fuerzas
exteriores debe ser nula. Considerando, en general, que el fluido se encuentra en un campo de
fuerzas de intensidad f (fuerza por unidad de masa), es decir: f = dF/dM el valor de las fuerzas externas
será f dM y se obtiene:
f dM dF f dM dM 1
+ = 0 ⇒ − grad p = 0 ⇒ f = grad p
r
r
que es la ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA ESTÁTICA DE FLUIDOS.
Multiplicando escalarmente ambos miembros de la ecuación anterior por dr = dx i + dy j + dz k
y teniendo en cuenta que dr · grad p = dp, en la que dp es la diferencia de presiones entre dos
puntos del fluido sometido al campo de fuerzas de intensidad f y que distan entre sí dr, deducimos
que:
dp
que es otra forma de expresar la ecuación fundamental de la estática de fluidos.
Para integrar la ecuación anterior tendremos que conocer en cada caso: f = f (x, y, z). Aunque
la presión, en general, dependerá de la posición del punto [(p = p (x, y, z)], hay superficies de
puntos de igual presión: ISOBARAS; para obtener la familia de superficies isobaras correspondientes
a cada caso, y en las que dp = 0, habrá que integrar la ecuación:
f
= r f ? dr
? d r = 0
Si el campo de fuerzas a que está sometido el fluido es el gravitatorio, la fuerza (peso) resulta:
F = – grad U y como: g = F/M = – grad V es decir: dicho campo deriva de un potencial V, como
ya vimos en el capítulo XI; sustituyendo en (3) nos queda:
grad p + r grad V = 0
Si hacemos p = cte, se tiene:
I
(2)
(3)