Fisica General Burbano

144 TRABAJO Y ENERGÍA. TEORÍA DE CAMPOS. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Finalmente, si el vector campo está dado por la expresión:
E = E x
(x, y, z) i + E y
(x, y, z) j + E z
(x, y, z) k
el valor del escalar divergencia viene dado por:
E E E
divE = + + =
x y z
x y z
Ñ?
propiedad cuya demostración omitimos por salirse de los límites de esta exposición elemental.
VI – 11. Teorema de Ostrogradsky-Gauss
E
Fig. VII-13.– La circulación a lo largo
de la línea C es igual a la suma de
las circulaciones a lo largo de C 1
y
C 2
, ya que la línea común a ambas
está atravesada en sentidos contrarios.
Si suponemos, en la región ocupada por el campo, una superficie cerrada A, el flujo que atraviesa
dicha superficie será indudablemente función de los manantiales o sumideros que existan en
su interior, en definitiva, de los valores que la divergencia del campo presente dentro del volumen
V encerrado por A. La relación entre ambas viene dada por la siguiente expresión dada por Gauss:
z z z
E? dA= divEdt = Ñ ? Edt
A V V
Esta fórmula transforma una integral de volumen en otra de superficie.
Aunque enunciada sin demostración, y continuando nuestro símil hidrodinámico, es fácil darse
cuenta de que div E dt representa el flujo que ha manado en la unidad de tiempo fuera del volumen
dt; la integral del segundo miembro representa la suma de los flujos producidos dentro del
volumen V, y esto debe corresponder al flujo total que ha atravesado la superficie que figura en el
primer miembro.
Cuando la divergencia es nula en todos los puntos del campo, a éste se se llama CAMPO SOLE-
NOIDAL.
VII – 12. Rotacional de una función vectorial
Consideremos una línea cerrada C en el espacio ocupado por un campo vectorial, llamamos A
a una superficie cualquiera limitada por la curva C y que por tanto está contenida en ella; hemos
definido circulación del campo E a lo largo de la línea C por:
Γ =zE ? dr
y para este caso en que la línea es cerrada elegimos un sentido de integración a lo largo de ella. Si
a la superficie A la dividimos en dos partes, A 1
y A 2
, estarán limitadas por dos curvas C 1
y C 2
, entonces
se verifica que:
z z z
Γ = E? dr=
E? dr + E?
dr
= Γ + Γ
C C1 C2
C
1 2
ya que la línea común a ambas curvas está atravesada en sentidos contrarios en las dos integraciones
y sólo nos queda la contribución de las líneas de la circulación original (Fig. VII-13). Subdividiendo
esta superficie tantas veces como queramos, subsistirá esta propiedad. Procedemos de
esta forma hasta llegar a entornos infinitamente pequeños (sólo contienen un punto).
En la subdivisión la circulación para cada pedazo se va haciendo cada vez más pequeña, y el
área disminuye con ella. En el límite, cuando el área tienda a cero, del cociente de la circulación al
área nos da una característica de un punto del campo que será una magnitud vectorial a la que llamamos
ROTACIONAL, cuya proyección sobre el vector área toma el valor:
z
1
rotE? n = lím E?
dr
A→0
A C
Desarrollamos el concepto del escalar divergencia, que también nos caracterizaba cada punto
del campo vectorial, como el límite de una integral de superficie cerrada, al volumen infinitesimal
que rodea al punto y limitado por tal superficie; parece evidente la definición dada, que nos relaciona
la integral de línea con la integral de superficie (ver párrafo siguiente).
En el símil hidrodinámico dado para explicar el concepto físico de divergencia, veíamos que
ésta no se anulaba en puntos del campo de velocidades en que existía un manantial o un sumidero;
si por ejemplo visualizamos con una mota de polvo un punto de un fluido próximo a un sumidero,
ésta generalmente «gira» y se «traslada»; en puntos en que debido a la turbulencia del fluido
ocurra esto, el vector rotacional es no nulo, y nos caracteriza el sentido de giro y avance del fluido
en su seno.
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