Fisica General Burbano

ANÁLISIS GENERAL 207
En efecto: sea I′ el momento de inercia del cuerpo de la Fig. X-10 respecto del
eje O′Y′ que pasa por el centro de masas (O′ ≡CM); para cualquier partícula dm del
sólido, la distancia al eje que pasa por el centro de masas verifica: R′ 2 = x′ 2 + z′ 2 ,
mientras que la distancia al eje OY, paralelo al anterior, y a una distancia d, cumple:
R 2 = (x′ +d) 2 + z′ 2 = x′ 2 + z′ 2 + d 2 + 2dx′ =R′ 2 + d 2 + 2dx′
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El momento de inercia del sólido, que ocupa un volumen V, respecto del eje OY
será:
z z z z
2 2 2
I = R dm = R′ dm + d dm + 2dx′
dm
V V V V
En esta expresión, el primer sumando es I′, el segundo Md 2 , siendo M la masa
del cuerpo, y el tercero es nulo, por ser:
z
Fig. X-10.– Teorema de Steiner.
xCM
′ = x′ dm=
0
V
la primera coordenada del CM respecto del propio CM. Resulta pues I = I′ + Md 2 , como queríamos
demostrar.
TEOREMA DE LOS CUERPOS PLANOS
En cuerpos planos, de espesor despreciable, la suma de los momentos de inercia respecto
de dos ejes perpendiculares y en el plano del cuerpo, es igual al momento de inercia respecto
de un eje perpendicular al plano por el punto de corte de aquellos.
En efecto: llamando I xx
, I yy
a los momentos de inercia del cuerpo plano respecto de los ejes OX
y OY respectivamente, y teniendo en cuenta la Fig. X-11, obtenemos:
en las que hemos llamado A, a la superficie del cuerpo; y llamando I zz
al momento de inercia del
cuerpo plano respecto del eje OZ, nos queda:
X – 6. Momentos de inercia de un sólido rígido con respecto a un punto y a un
plano. Teoremas de Inercia
«Definimos el MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO CON RESPECTO A UN PUNTO, como la suma
de los productos de las masas de las partículas que forman el sólido, por el cuadrado de sus
distancias al punto.»
Luego el momento de inercia de un cuerpo con respecto al origen de coordenadas será:
y si el sólido es discreto:
«Definimos el MOMENTO DE INERCIA DE UN SÓLIDO CON RESPECTO A UN PLANO como la suma de
los productos de las masas de las partículas que forman el cuerpo por el cuadrado de sus
distancias al plano».
Luego el momento de inercia de un sólido con respecto a los planos que determinan los ejes
coordenadas serán:
y si el sólido no es continuo:
I + I = y dm + x dm = ( x + y ) dm = R dm
xx
I = y dm I = z dm I = x dm
xz
yy
z z z
V
z z z z
2 2 2 2 2
A A A A
Ixx + Iyy = Izz
IO
= z( x + y + z ) dm
V
2 2 2
2 2 2
O i i i i
I =∑ m ( x + y + z )
2 2 2
xy
yz
V
V
Fig. X-11.– Teorema de los cuerpos
planos.
2 2 2
xz i i xy i i yz i i
I =∑ m y I =∑ m z I = ∑m x