Fisica General Burbano

70 CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS DE LA PARTÍCULA. MOVIMIENTOS RELATIVOS
z z
t
t
w = w0 + adt
j = j0
+ wdt
t0 t0
Hemos puesto j en vez de q para distinguir en análisis posteriores, la coordenada generalizada
q del ángulo descrito en trayectoria circular, pero téngase bien claro que este estudio es un caso
particular y ambas coinciden.
Dando a v y a carácter de vectorial axial (párrafo II-3) cuyos módulos son los valores expresados
en (2), dirección la de una recta perpendicular al plano de la circunferencia trayectoria y de
sentido, para v el de avance de un sacacorchos que gira como el punto, y para a en la dirección
de v si esta aumenta con el tiempo (acelerado angular), y en sentido contrario si disminuye (decelerado
angular). En consecuencia:
dj
dw
v = e = j
. e a = e = w
. e = j
.. e
dt
dt
Fig. IV-4.– Movimiento circular. Convenimos
que un ángulo es positivo,
cuando el desplazamiento angular es
como el de esta figura, es decir, antihorario.
Fig. IV-5.– El vector velocidad y el
vector velocidad angular son perpendiculares.
Fig. IV-6.– Concepto de radio de curvatura.
En las que e (Fig. IV-5) es el vector unitario perpendicular al plano en que se realiza el giro, tiene
la dirección del que llamaremos EJE DE ROTACIÓN e y sentido el que corresponde a este vector
axial (el mismo que v).
De la Fig. IV-5 deducimos que el arco Ds recorrido por la partícula en el tiempo Dt toma el valor:
Ds = rDj, dividiendo por Dt y pasando al límite cuando Dt →=0 nos quedará: s = ds/
dt =
.
rdj / dt y teniendo en cuenta las definiciones de velocidad instantánea (v) y de velocidad angular
(w) obtenemos:
ecuación que no es vectorial pero que nos relaciona los módulos instantáneos de estas magnitudes.
La relación vectorial entre estas tres últimas magnitudes se deduce considerando que v es perpendicular
a r, y v es perpendicular a r y v (Fig. IV-5); por tanto la expresión vectorial de (3) será:
Si a la relación modular (3) la derivamos con respecto al tiempo obtenemos:
dv
dt
v
v = w r
= v ×
dr
= w +
dt
el primer sumando del segundo miembro es nulo ya que la trayectoria es circular y por tanto r en
módulo es constante; y teniendo en cuenta las definiciones de aceleración instantánea (módulo del
vector aceleración) y aceleración angular, podemos escribir la fórmula (5) de la forma:
Si derivamos la (4) respecto del tiempo, y teniendo en cuenta que r no es constante en dirección
y sentido y por tanto tiene derivada temporal y su valor es v = r
. , obtenemos las relaciones
vectoriales:
. dv
dw
dr
a = v = = e × r + v × = a × r + v × v
dt dt
dt
en la derivada de ω = j . e, el vector e no tiene derivada temporal por lo que no la hemos puesto.
Teniendo en cuenta (4), nos queda:
PROBLEMAS: 15al 18.
a
r
dw
dt
= a r
r
a = a × r + v × ( v × r)
IV – 3. Conceptos de: Círculo osculador, radio de curvatura,
centro de curvatura y plano osculador
Tomemos tres puntos muy próximos sobre una curva, P, P′ y P′′
(Fig. IV-6); de las circunferencias tangentes a la curva en P, la que tiene
en dicho punto un contacto tal que P′ y P′′ pertenecen a ella cuando
éstos tienden a confundirse con P la llamamos CÍRCULO OSCULADOR*. Al
radio de este círculo lo llamamos RADIO DE CURVATURA y al centro CEN-
TRO DE CURVATURA.
(3)
(4)
(5)
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* Recordar que para que una circunferencia esté definida por su ecuación analítica se necesitan tres puntos de ella, y a la inversa.