Fisica General Burbano

238 EL CAMPO GRAVITATORIO
que sustituidas en (12) conducen a:
2
2
h
r
2
2
d
dj
1
r
y haciendo el cambio de variable u = 1/r, se transforma en: d 2 u/dj 2 + u = GM/h 2 , que con el
nuevo cambio z = u – GM/h 2 , se reduce a: d 2 z/dj 2 + z = 0, cuya solución es: z = C cos (j – j 0
).
Deshaciendo los cambios de variable y eligiendo el eje polar de forma que j 0
= 0, obtenemos:
h
r
2
3 2
−
F H G I K J − = −
GM
r
1 GM
h / GM
= + C cos j ⇒ r =
2
2
r h
Ch
1 + cos j
GM
2
(13)
Fig. XI-18.– En B se desprenden los
cohetes y se inicia la trayectoria libre.
que es la ecuación de una cónica (hipérbola, parábola o elipse) con un foco en el centro de M.
(Ver problema II-58 y 59).
La masa m, lanzada en el campo gravitatorio de M, describe pues una cónica de parámetro
p = b 2 /a = h 2 /GM y excentricidad e = c/a = Ch 2 /GM, en las que las constantes dependen de la
posición y velocidad ee m en el instante de iniciar su movimiento bajo la acción exclusiva de M.
Si en (13) M es la masa del Sol, dicha ecuación describe el movimiento de, por ejemplo, la
Tierra, y si es M la masa de la Tierra el movimiento descrito puede ser el de un satélite artificial.
XI – 13. Tipos de trayectoria en función de las condiciones iniciales y de la energía
Para poner un satélite en órbita se le hace ascender mediante cohetes hasta una distancia r 0
del Centro de la Tierra, llegando a ese punto con velocidad v 0
paralela a la superficie terrestre, es
decir, con componente únicamente transversal. En ese punto inicia el movimiento bajo la acción
exclusiva de la atracción terrestre (despreciamos la influencia de otros cuerpos).
Determinaremos el tipo de trayectoria que seguirá a partir de B (Fig. XI-18), en función de r 0
y
v 0
, a través de la excentricidad, que caracteriza el tipo de cónica, y de la energía del satélite.
Si tomamos el eje polar pasando por B, en la ecuación (13) se verifica cos j = cos 0 = 1, con
lo que:
1 GM
C = − r
2
0 h
. 2 .
Por otra parte, en B es v0 = r0 j0 y h = r0
j0 = r0v0, que es constante por serlo J. Con esto,
la excentricidad resulta:
Ch 1 h
1 r v
e = = − GM
GM GM r
GM r
La energía total del satélite es constante, por ser la fuerza gravitatoria conservativa, e igual a su
valor en B:
GMm mv0
m 2
E = U0 + T0
= − + = ( rv 0 0 − 2GM)
⇒
r 2 2r
E
GMm rv 0 0
= − 2 ⇔ E = GMm ( e −1)
2r0
GM KJ
2r0
a) ÓRBITAS CIRCULARES. Para que la cónica sea una circunferencia debe verificarse: e = 0, con
2
lo que, de (14), se tiene: rv / GM= 1. La velocidad característica de una órbita circular es:
0 0
F
HG
2 2
0
F
HG
I
KJ =
0
2
v
I
c =
y la energía total, de (15), E = – GMm/2r 0
, que resulta negativa como corresponde a trayectorias ligadas
a M.
2
b) ÓRBITAS ELÍPTICAS. Para una elipse se verifica 0 < e < 1, con lo que 1< rv 0 0/
GM<
2, el
paréntesis de (15), y por tanto la energía total, es negativo. La velocidad inicial del satélite debe
estar en el intervalo: GM/ r0 < ve
< 2GM/
r0
, es decir vc < ve < 2vc
, siendo la posición inicial
el punto de la trayectoria más cercano a M.
c) TRAYECTORIAS HIPERBÓLICAS. En términos de excentricidad, hipérbola significa e > 1, es decir,
2
en nuestro caso rv 0 0/ GM>
2 , resultando una energía total positiva y distinta de cero. En tales trayectorias
el cuerpo puede llegar teóricamente al infinito con una cierta velocidad, ya que en él la
energía sería tan solo cinética y, como hemos visto, no nula. El cuerpo m tiene una trayectoria
abierta no ligada a M.
F
HG
2
2
0
GM
r
0
0
2
0
−
rv
GM e
KJ ⇒ = 0 0
GM
− 1
0
I
2
(14)
(15)
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR