Fisica General Burbano

210 DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
desarrollando y agrupando términos:
J = w ( r − x ) dm − w xy dm − w xz dm
a los coeficientes de w x
, w y
y w z
se les llaman COEFICIENTES DE INERCIA y toman el valor:
con esta notación, las componentes del momento angular quedan
J x
= I xx
w x
+ I xy
w y
+ I xz
w z
J y
= I yx
w x
+ I yy
w y
+ I yz
w z
(6)
J z
= I zx
w x
+ I zy
w y
+ I zz
w z
como r 2 = x 2 + y 2 + z 2 , los valores de I xx
, I yy
, e I zz
serán:
I = ( y + z ) dm I = ( x + z ) dm I = ( x + y ) dm
xx
x
2 2
J =− w yx dm + w ( r −y ) dm − wz
yz dm
y
J =−w zx dm − w zy dm + wz
( r − z ) dm
z
z z z
V
x
x
x
z z
2
J x = wx
r dm − ( x wx+ y wy+
z wz)
x dm
zV
zV
2
J y = wy
r dm − ( x wx+ y wy+
z wz)
y dm
zV
zV
2
J z = wz
r dm − ( x wx+ y wy+
z wz)
z dm
V
V
z z z z z
z z z
V
V
V
I = ( r − x ) dm
xx
I = ( r −y ) dm
yy
I = ( r −z ) dm
zz
2 2 2 2 2 2
yy
zz
V
V
coincidiendo con los ya definidos momentos de inercia del sólido con respecto a los ejes X, Y, Z.
(Obsérvese que I xy
, I yz
, ... no son los mismos que los momentos de inercia del sólido respecto a los
planos XY, YZ...). A los coeficientes I xy
, I yz
, ..., se les denomina PRODUCTOS DE INERCIA.
La expresión (6) se puede escribir en forma matricial:
F
G
HG
J
J
J
2 2
x
y
z
z
z
z
V
V
V
I F
J G
KJ = HG
2 2
2 2
2 2
I I I
I I I
I I I
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
donde I es el llamado TENSOR DE INERCIA, definido por la matriz 3 × 3 de la relación anterior. Su expresión
depende de la distribución de la masa del sólido (de su geometría) y de la elección de ejes
de coordenadas, así, a una elección distinta de ejes, le corresponden otros valores de los coeficientes
de inercia, pero el nuevo tensor de inercia relacionará J y v de la misma forma que el anterior,
y esto es así porque el momento angular J correspondiente a una velocidad angular v no depende
de la elección de ejes que hagamos.
Las propiedades de las matrices nos permiten afirmar que por ser I una matriz simétrica respecto
de la diagonal principal, podemos diagonizarla, es decir, encontrar una matriz en la que los
productos de inercia sean nulos y que defina la misma transformación entre vectores. El sistema de
ejes de coordenadas en que la matriz adopta esta forma es el de los ejes principales de inercia; en
este caso la relación (7) se escribe:
F
HG
J
J
J
x
y
z
y
y
y
I F
J
KJ
HG
I F
KJ = HG
V
V
V
w
w
w
x
y
z
I
KJ
Ix
0 0
0 Iy
0
0 0 I
I = I = − xy dm
xy
I = I = − xz dm
xz
I = I = − yz dm
yz
z
⇔ J = Iv
I F
KJ
HG
yx
zx
zy
w
w
w
x
y
z
I
KJ
z
z
z
V
V
V
z
V
V
V
2 2
(7)
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
o bien J x
= I x
w x
, J y
= I y
w, J z
= I z
w z
. Estos MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES, I x
, I y
, I z
, no tienen en
general por qué ser iguales, con lo que las componentes de J no serán proporcionales a las de v,
y ambos vectores no serán paralelos; sin embargo, si dos componentes de v son nulas, si que lo