Fisica General Burbano

VECTORES Y ESCALARES. SISTEMAS DE REFERENCIA CARTESIANOS 31
admitir como positivo el correspondiente al movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj,
de acuerdo con lo que normalmente se hace en los textos de Física; pero no es necesario que éste
sea siempre el convenio elegido y por ello las definiciones de operaciones vectoriales y las fórmulas
para su cálculo se establecerán independientemente del sentido de rotación elegido.
La extensión a la representación de puntos en el espacio tridimensional es inmediata: escogemos
primero un origen O, por él pasamos tres planos perpendiculares entre sí, las rectas de intersección
de estos planos son también ortogonales entre sí y se les llama EJES DE COORDENADAS X, Y,
Z. Para asociar al punto P tres números hacemos pasar por P tres planos ortogonales entre sí que
sean a su vez normales a los planos de referencia, interceptarán a los ejes X, Y, Z en los puntos M,
N y R a los que corresponden tres números reales x, y, z.
La terna ordenada de números (x, y, z) son las coordenadas de P en el espacio, y la correspondencia
biunívoca de ternas ordenadas de números con el conjunto de puntos del espacio
XYZ es el SISTEMA DE COORDENADAS DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL constituido por los puntos
del espacio.
Fig. II-6.– Localización de un punto
en un sistema cartesiano tridimensional.
Triedro positivo.
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Al triedro que aparece en la Fig. II-6 se le llama TRIEDRO TRIRRECTÁNGULO POSITIVO o DEXTRÓGI-
RO; convenimos en que un triedro cualquiera será positivo cuando podamos llevarlo a coincidir
con el de la figura mediante movimientos rígidos. Otro convenio más general para caracterizar los
triedros positivos es: si hacemos girar a la parte positiva del eje X en el plano XY, alrededor del eje
Z, hasta hacerlo coincidir con la parte positiva del eje Y a través del menor ángulo entre X e Y, ese
movimiento produce al eje Z una rotación tal que un sacacorchos colocado en él, avance en la dirección
positiva del eje Z; tales sistemas positivos son los que por convenio consideraremos en este
libro; pero ya sabemos que no es necesario que sea siempre ésta la forma de proceder.
La razón por la que tenemos que abandonar el convenio de las agujas del reloj establecido en
el plano es que al observar un giro en un plano desde el espacio, el observador puede encontrarse
en dos semiespacios diferentes, determinados por el plano en que gire la partícula, y observadores
en los semiespacios A y B no podrán ponerse de acuerdo sobre cual es el sentido positivo o negativo
con el criterio del reloj y si se pondrán de acuerdo con los sentidos de giro establecidos en el
párrafo anterior (Fig. II-8).
II – 5. Componentes coordenadas de un vector
En el espacio tridimensional hemos definido un punto por tres coordenadas (x, y, z). Definimos
lo mismo mediante un vector r = r(x, y, z) llamado VECTOR DE POSICIÓN, a la terna ordenada
de números (x, y, z) los llamamos COMPONENTES COORDENADAS del vector y le asociamos un único
símbolo matemático r (Fig. II-9).
Si utilizamos un sistema de coordenadas diferente, los tres números cambian a (x′, y′, z′), sin
embargo, el vector r es el mismo en ambos sistemas. Lo que queremos decir es que la definición
de vector permanece invariante o independiente del sistema de coordenadas elegido.
Tomando el sistema X, Y, Z, y dándole carácter vectorial a x, y, z (proyecciones ortogonales de
r sobre los ejes), indicaremos r de la forma:
r = x + y + z
El sentido físico de esta igualdad es: suponiendo que r fuera un efecto (una fuerza por ejemplo),
no se afirma que r es la suma numérica de sus componentes, sino que el efecto físico que
produce r es el mismo que el efecto de x, y, y z actuando simultáneamente. Las componentes tienen
por valor:
x = r cos a y = r cos b z = r cos g
a, b y g son los ángulos que forma r con cada uno de los ejes. A sus cosenos se les llama COSENOS
DIRECTORES. El módulo de r (diagonal del paralelepípedo construido con x, y, z como lados) es:
2 2 2
r = x + y + z
Si elevamos al cuadrado las igualdades (1) y sumamos, obtendremos:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x + y + z = r (cos a + cos b + cos g) ⇒ cos a + cos b + cos g = 1
(1)
Fig. II-7.– Triedro negativo.
Fig. II-8.– Semiespacios determinados
por un plano.
Fig. II-9.– Componentes coordenadas
de un vector.
Si el vector viene dado por las coordenadas de su origen A(x, y, z) y de su extremo
B(x′, y′, z′), entonces las componentes coordenadas del vector AB (Fig. II-10) serán: (x′ – x,
y′ – y, z′ – z).
Fig. II-10.– Componentes coordenadas
de un vector.