Fisica General Burbano

666 CINEMÁTICA Y DINÁMICA RELATIVISTAS
dor que se desplaza respecto del primero a la velocidad de – 0,7c en la
dirección común XX′?
10. En un sistema S dos sucesos ocurren en x 1
, t 1
y en x 2
, t 2
, respectivamente.
Para un sistema S′, que se mueve respecto de S a velocidad V
en la dirección del eje OX, los dos sucesos son simultáneos. Calcular la velocidad
V en función de las coordenadas de los sucesos en S.
11. En un sistema de referencia S, un suceso tiene lugar en el punto
P 1
(x 1
, y 1
, z 1
, t 1
) = (–l, 0, 0, l/c). Otro suceso simultáneo ocurre en P 2
(x 2
, y 2
, z 2
, t 2
) = (l, 0, 0, l/c). Si el sistema S′ se desplaza respecto de S
con V = 0,8 c en la dirección del eje común XX′: 1) Calcular las coordenadas
de ambos sucesos medidad desde S′. 2) Calcular en ambos
sistemas el intervalo entre ambos sucesos.
12. Un sistema de referencia S′ se desplaza con velocidad V constante,
respecto de otro S, en la dirección común XX′. Un observador ligado
a S describe el movimiento de dos partículas mediante los vectores
de posición: r 1
= (y 0
+ ut) j y r 2
= x 0
i + (y 0
+ ut) j . 1) Obtener las ecuaciones
de movimiento y la de la trayectoria de ambas partículas medidas
desde S′. 2) ¿En qué instantes atravesarán las partículas el plano y
= 2y 0
, según ambos observadores?
13. Un foco luminoso ligado a un sistema de referencia S, emite un
rayo de luz en una dirección del plano XY que forma un ángulo q con el
eje OX. 1) Deducir la expresión del seno y del coseno del ángulo q′
que medirá un observador que se desplaza con velocidad V, en la dirección
OX = O′X′, respecto de S. 2) En el caso particular de q = p/3 y
V = 0′5c, escribir la ecuación de la trayectoria del rayo en S′ y verificar
que, efectivamente, la luz se aleja de O′ a velocidad c.
14. Una fuente luminosa emite un haz de luz monocromática de
frecuencia n. Calcular la frecuencia n′ medida por un observador que se
desplaza respecto de la fuente con velocidad V en la dirección del haz.
(Efecto Doppler).
15. Una nave espacial viaja en una trayectoria recta que pasa por
las proximidades de la Tierra. Emite un señal que cuando se acerca se
percibe a 100 MHz, y cuando ha pasado y se aleja se recibe a 50 MHz.
Calcular: 1) La frecuencia de la emisión medida en la nave. 2) La velocidad
de ésta respecto de la Tierra.
16. Un astrónomo mide en un espectrómetro la longitud de onda
de una de las rayas del espectro de emisión del hidrógeno, y encuentra
que la que proviene de una estrella está desplazada hacia el rojo un
10 % respecto de la que obtiene de una fuente en el laboratorio. Calcular
la velocidad de la estrella respecto de la Tierra. (Efecto Doppler).
17. Un haz de luz monocromática de frecuencia n 0
, se refleja en un
espejo que viaja a velocidad V en la dirección del haz. Calcular la frecuencia
n f
del haz reflejado. ¿En qué condiciones es ésta mayor, menor
o igual que la incidente? (Efecto Doppler).
18. Calcular la velocidad relativa de dos cuerpos que se mueven
en direcciones paralelas con velocidades v 1
y v 2
respecto de un sistema
que consideremos fijo, en los dos casos siguientes: 1) v 1
= 2 × 10 3 km/s,
v 2
= –2 × 10 3 km/s 2) v 1
= 2 × 10 5 km/s , v 2
= – 2 × 10 5 km/s 3) ¿Para
qué valores de v 1
y v 2
, con |v 1
| = |v 2
|, la suma de velocidades difiere
en un 1% del cálculo relativista?
19. Tres naves interestelares viajan en el mismo sentido de direcciones
paralelas. Las tres llevan pintadas las siglas UE en tamaño de
2 × 2 m cada letra, vistas desde el propio vehículo. Uno de ellos, el A, es
adelantado por los otros, por el B con velocidad v B
= 0,3 c y por el C
con velocidad, v C
= 0,6 c, ambas respecto de A. Calcular la anchura que
medirá cada piloto de las letras de las otras naves.
20. Desde un sistema S′ que se desplaza a velocidad V respecto de
otro S, se emite un rayo de luz en dirección perpendicular a la del movimiento
relativo. Calcular el valor de la velocidad V de S′ respecto de S si
éste ve el rayo: 1) Inclinado 45° respecto de la dirección del movimiento.
2) Paralelo a dicha dirección.
21. Dos cohetes espaciales se cruzan en un punto P. Sus velocidades
respecto de un observador exterior a ambos en P, son v 1
= ac y
v 2
= –bc. Un tiempo T después en el reloj del primer cohete, y desde dos
puntos de éste distantes L metros, se emiten dos señales luminosas simultáneas,
calcular: 1) Las indicaciones de un reloj en P, sincronizado
con los de los cohetes al cruzarse, cuando recibe cada señal. 2) Las indicaciones
respectivas del reloj del segundo cohete. Aplicación: a = b = 0,75,
T = 60 s, L = 150 m.
22. Obtener la relación de transformación de la componente de la
aceleración en la dirección del movimiento relativo de los sistema de referencia
inerciales, S y S′, que se mueven con velocidad relativa V.
Problema XXVII-7.
Problema XXVII-8.
B) DINÁMICA RELATIVISTA
23. El poder calorífico del coke metalúrgico es de 29,1 MJ/kg.
Comparar la energía calorífica producida en la combustión de un gramo
de ese carbón, con su energía en reposo.
24. En la madrugada del 17 de enero de 1991, los EEUU de Norteamérica
lanzaron sobre Iraq y Kuwait, en la operación llamada «tormenta
del desierto», 18 000 toneladas de explosivos. Si un kilogramo de
TNT líbera al explotar aproximadamente 4 millones de julios, calcular la
masa que debería convertirse en energía para producir el mismo número
de julios.
25. Calcular la velocidad de un sistema, con respecto a nosotros,
para que la masa de los cuerpos situados en él se nos duplique. ¿Qué
longitud adquirirán los cuerpos medida desde nuestro sistema en la dirección
del movimiento? ¿Qué fenómeno se presentaría en la medida
tiempo?
26. La masa de un electrón en reposo es m 0
= 9,109 × 10 –28 g, calcular:
1) La masa del electrón a 210 000 km/s. 2) Su energía total. 3)
La energía debida a su masa. 4) Su energía cinética.
27. Calcular la velocidad hasta la que se debe acelerar una partícula
para que su energía cinética sea el 10 % de su energía en reposo.
28. ¿En qué porcentaje aumenta la masa del agua al calentarla de
0° C a 100° C? Calor específico = 1 cal/g · K.
29. Un acelerador electrostático es un aparato en el que se aceleran
partículas de carga q, mediante una diferencia de potencial V, comunicándoles
una energía cinética dada por el producto qV. En uno de tales aparatos,
un electrón parte del reposo y es acelerado por una diferencia de
potencial de 3 × 10 6 voltios. Calcular, clásica y relativistamente, su velocidad
final. Para el electrón: m 0
= 9,1 × 10 –31 kg, |q| = 1,602 × 10 – 19 C.
30 En el acelerador del problema anterior se introducen partículas
alfa y protones. La carga de una partícula alfa es el doble de la del
protón, y su masa en reposo la consideraremos como cuatro veces la del
protón. Acelerando ambas partículas se puede variar la proporción 4:1
de sus masas. 1) ¿Entre qué valores puede variarse esa proporción?
2) ¿Qué potencial es necesario para reducir la relación entre masas a
7:2? Para el protón: m 0
= 1,67 × 10 – 27 kg, |q| = 1,602 × 10 – 19 C.
31. Un sincrotón es un acelerador de partículas en el que éstas describen
círculos de radio constante. En uno de ellos, cuando los protones
tienen una energía de 10 GeV, la fuerza centrípeta, proporcionada por
un campo magnético, necesaria para mantenerlos en trayectoria circular
es de 5 × 10 – 11 N. Siendo la masa en reposo del protón de 1,67 × 10 – 27
kg, calcular el radio de la trayectoria de los protones.
32. Una partícula de masa en reposo m 0
penetra, con momento p 0
,
en un campo uniforme que le produce una fuerza F constante y perpendicular
a p 0
. Calcular la ecuación de la trayectoria que describe y comprobar
que dicha trayectoria se reduce a una parábola cuando v es mucho
menor que c.
33. Una partícula en reposo se DESINTEGRA en un pión, de masa en
reposo 2,5 × 10 – 28 kg, y un protón, cuya masa en reposo es 1,7 × 10 – 27
kg y que sale con una energía cinética de 3,2 × 10 – 13 J. Calcular la masa
de la partícula original.
34. Un pión positivo en reposo se DESINTEGRA en un muón positivo
y un neutrino: p + → m + + n. Siendo las energías en reposo del pión y
muón de 140 MeV y de 106 MeV, respectivamente, calcular, para el
muón resultante, su energía total, velocidad y energía cinética.
35. Se tiene un sistema de dos partículas idénticas, de masa en reposo
m 0
. En el sistema de referencia S la primera posee una velocidad u
en el sentido OX positivo, y la segunda está en reposo. 1) Calcular la
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