Fisica General Burbano

674 CORTEZA ATÓMICA
compacto de esta formulación y la gran cantidad de datos experimentales a los que se ajusta, hace
de los espectros la prueba inexcusable a la que se ha de someter cualquier modelo del átomo.
XXVIII – 7. Modelo de Bohr
Hemos visto las dificultades que presentaba el modelo de Rutherford referentes a la estabilidad
de la órbita del electrón y a la explicación de los espectros.
Niels Bohr, que había sido alumno de Rutherford durante 1912, pensaba que el modelo nuclear
daría buenos resultados si se le incorporaba la teoría cuántica de la radiación desarrollada por
Planck y Einstein, de forma que los electrones en el átomo perdieran o ganaran energía por cuantos.
Para hacer compatible esta idea con el modelo atómico hubo de emitir dos postulados:
1 er POSTULADO: El electrón puede moverse sin radiar energía en ciertas órbitas (que llamó
estados estacionarios); la radiación se produce, cuando cambia de uno a otro, como resultado
de la diferencia de energía que posee en cada uno de ellos.
La frecuencia del fotón emitido es:
n =
E
i
− E
h
f
(4)
donde E i
y E f
son las energías del electrón en los estados inicial y final, respectivamente. Si el
electrón «salta» de un NIVEL de mayor energía a otro de menor, el resultado es la emisión de un
fotón de la frecuencia reseñada. Si por el contrario el fotón es absorbido por el electrón, éste se
promociona a un nivel de mayor energía.
Un electrón en órbita circular de radio r tiene una energía E, que se puede calcular considerándolo
sometido a la atracción culombiana del núcleo. Supongamos un átomo hidrogenoide
consistente en un núcleo con Z protones y un único electrón cortical, la energía total E del electrón
es suma de la potencial U y la cinética T:
e igualando la atracción del núcleo al producto de la masa por la aceleración centrípeta:
llegamos a:
1 2 1 K0
Ze
T = mv = ∧ E = T + U = −
2 2 r
Introduciendo esta expresión en (4), tenemos:
2
K0
Ze
1
U =− con K0
=
r
4 pe
K0
Ze
2
r
2
en la que r i
y r f
son, respectivamente, el radio de la órbita inicial y el de la final, y que se puede escribir
de la forma:
n K0
Ze 1 1
n = = −
c 2hc r r
Al comparar esta expresión con la (2) de Balmer, le resultó evidente a Bohr que los radios de
las órbitas debían ser proporcionales a los cuadrados de números enteros. La condición que le
aseguraba este resultado la enunció como un nuevo postulado:
2º POSTULADO: En una órbita estable, el momento cinético del electrón es un número entero
de veces la constante de Plank dividida por 2 p.
nh
mvr = = nh n=
123 , , ,...
2 p
donde h = h/2p. El número n es el llamado NUMERÓ CUÁNTICO PRINCIPAL, que determina la cuantificación
de los radios de las órbitas y por tanto de la energía del electrón.
Resolviendo el sistema formado por (5) y (9) se obtiene para el radio de la n-ésima órbita:
rn = h 2
K Ze m n 2
0
2
= m v r
2
F
HG
2
f
2
i
K0
Ze 1 1
n =
−
2h r r
I
KJ
0
2
1
2
F
HG
f
K
0
Ze
r
i
I
KJ
2
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
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y de (6), tenemos para la energía correspondiente la expresión: