Fisica General Burbano

ENERGÍA MAGNÉTICA. DESCARGA OSCILANTE DE UN CONDENSADOR 521
dI
dt
dI L + L − 2M
+ = −
2
dt L L − M
1 2 1 2
1 2
y como I = I 2
+ I 2
⇒ dI/dt = dI 1
/dt + dI 2
/dt, entonces:
e
dI
dt
L1 + L2
− 2M
1
=−
e=− e ⇒ L =
2
L L − M L
1 2
L1 L2
− M
L + L − 2M
1 2
2
siendo L el valor de la inducción equivalente. Obsérvese que los cálculos serán diferentes si se invierte
el sentido de arrollamiento de una de las bobinas, tal y como se hacía en el acoplamiento en
serie con influencia de la inducción mutua; dejamos como ejercicio para el lector, el cálculo de la
inducción equivalente para este caso.
PROBLEMAS: 31al 39.
Fig. XXII-22.– Autoinducciones en
paralelo.
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C) ENERGÍA MAGNÉTICA. DESCARGA OSCILANTE DE UN CONDENSADOR
XXII – 11. Energía almacenada en el campo magnético
Una deducción formal de la expresión de la energía del campo magnético se sale de las pretensiones
de este texto, con lo que procederemos de la misma forma que hacíamos en el párrafo
XIX-17, en el que se obtenía el valor de la energía de la unidad de volumen del campo electrostático
a partir del existente entre las armaduras de un condensador plano y luego advertíamos que la
expresión obtenida era general para cualquier campo.
El modelo que tomamos es el de un solenoide en un circuito RL como el de la Fig. XXII-15, al
que suponemos lo suficientemente largo para considerar nulo el campo en el exterior de él; al cerrar
el interruptor que lo conecta con una batería, habremos de considerar la FEM de ésta y la de
autoinducción de aquél; la energía suministrada por la batería se transforma en parte en calor en
la resistencia (efecto Joule) y el resto de la energía del generador se almacena en la bobina. La
aplicación de la ley de Ohm al circuito, conduce a:
e e e
− L dI
2
= IR ⇒ I= I R+ LI dI
2
⇒ Idt= I Rdt+
LIdI
dt
dt
El primer miembro de esta ecuación representa la energía suministrada por el generador en el
tiempo dt, la cual se distribuye en una producción de calor en el circuito (I 2 Rdt) y en energía localizada
en el interior del solenoide correspondiente al campo magnético que en él se crea (LI dI),
expresión que integrada entre los límites 0 e I (I = intensidad final que adquiere el circuito), nos
dará la energía del campo magnético almacenada en el interior del solenoide:
zI
1 2
U = L I dI = L I
0 2
esta energía es la que hace que al eliminarse la FEM del circuito (al abrir el interruptor S del circuito
RL de la Fig. XXII-15), no se anule inmediatamente la corriente, transformándose en calor al
ser cedida a la resistencia.
El flujo que atraviesa a un solenoide de n espiras es: f = LI = B A n
ya que B A es el flujo a través de cada una de sus espiras; sustituyendo el valor de LI en la anterior
obtenemos:
El campo en el interior es:
que sustituida en el último valor de U, nos da:
ya que Al es el volumen del solenoide.
U = U = 1 B A n I
2
In
B = m0
⇒ I =
l
La ENERGÍA LOCALIZADA EN LA UNIDAD DE VOLUMEN será:
1 B Al 1 B v
U = =
2 m0
2 m 0
U
B
u = ⇒ u = 1 v
2
fórmula completamente independiente de las características del solenoide y que, por tanto, podemos
generalizar para todo campo magnético. Si es el caso de materiales magnéticos homogéneos
e isotropos, en los que la permeabilidad magnética es m entonces:
2
Bl
m n
0
2
2
m 0
Fig. XXII-23.– Influencia de la inducción
mutua.
dU
u = = 1 dv 2
2
B
m