Fisica General Burbano

208 DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
De la definición de MOMENTO DE INERCIA DE UN SÓLIDO RÍGIDO RESPECTO A UN EJE, las fórmulas
que nos determinan los valores de los momentos de inercia del sólido con respecto a los ejes de
coordenadas serán:
I = ( y + z ) dm I = ( x + z ) dm I = ( x + y ) dm
xx
z z z
V
y para el caso de que el sólido sea discreto:
2 2 2 2 2 2
yy
zz
V
V
2 2 2 2 2 2
xx i i i yy i i i zz i i i
I =∑ m ( y + z ) I ∑ m ( x + z ) I =∑ m ( x + y )
1. TEOREMA
«El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un punto, es igual a la semisuma de los
momentos de inercia con respecto a los tres ejes perpendiculares que pasan por tal punto».
En efecto:
z z
2 2 2 2
Ixx + Iyy + Izz
= ( y + z ) dm+ ( x + z ) dm+
z
V
z
V
c.q.d.
2 2 2 2 2
+ ( x + y ) dm= 2 ( x + y + z ) dm=
2IO
V
V
2. Teorema
«El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un punto es igual a la suma de los
momentos de inercia con respecto a un plano y a un eje perpendicular a él que pasan por
dicho punto».
En efecto, la expresión:
la podemos escribir:
como queríamos demostrar.
3. TEOREMA
«El momento de inercia respecto a un eje es igual a la suma de los momentos respecto a
dos planos perpendiculares que se cortan en el eje.»
En efecto:
4. TEOREMA
«El momento de inercia de un cuerpo respecto de un punto es igual a la suma de los momentos
respecto de tres planos perpendiculares que contienen al punto.»
En efecto, sean los planos coordenados:
I + I + I = z dm + y dm + x dm = ( x + y + z ) dm = I
xy xz yz
I + I = z dm + y dm = ( z + y ) dm = I
xy
IO
= z( x + y + z ) dm
V
z z
2 2 2
IO
= ( x + y ) dm+ z dm= Izz
+ I
zV
zV
2 2 2
IO
= ( y + z ) dm+ x dm= Ixx
+ I
zV
zV
2 2 2
IO
= ( x + z ) dm+ y dm= Iyy
+ I
V
V
xz
z z z
V
2 2 2
2 2 2 2
z z z z
2 2 2 2 2 2
V V V
V
V
V
xy
zy
xz
xx
O
c.q.d.
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