Fisica General Burbano

F
HG
d( v1 − v2)
F12
F21
dv12
1 1
m1 + m2
= − ⇔ = + F12 ⇔ a12
= F
dt m1
m2
dt m1 m2KJ m1m2
I
ENERGÍA EN LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS 175
12
Se llama MASA REDUCIDA a la cantidad:
m1 m2
m =
m + m
1 2
con lo que el valor de la aceleración relativa en función de esta cantidad será:
expresión de la que deducimos el teorema siguiente:
a
12
F12
= ⇔ F = ma
m
12 12
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
«El movimiento relativo de dos partículas sujetas a su interacción mutua es equivalente al
movimiento, respecto a un observador inercial, de una partícula de masa igual a la masa reducida
sometida a una fuerza igual a la de interacción entre ambas».
La introducción del sistema de referencia de centro de masas nos ha permitido separar el estudio
dinámico de un sistema de n partículas en dos partes, el movimiento del CM con masa M =Σm i
respecto de un sistema de referencia inercial y el movimiento de las partículas respecto del CM. Lógicamente,
este proceso se puede seguir de la misma forma expuesta hasta ahora para dos partículas
no sometidas a fuerzas exteriores.
Las expresiones de los momentos lineal y angular de este sistema respecto del CM, adoptan una
forma especialmente útil. En efecto: las posiciones de las partículas respecto del CM son:
las respectivas velocidades son:
con lo que los momentos lineales resultan:
es decir, el momento lineal interno de las dos partículas es nulo.
Y para el momento angular interno:
m2
S1 = r1′ × p1′ = r12 × mv12
m + m
con lo que:
m1r1 + m2r2
m2 ( r1 − r2)
m2r12
r1′ = r1 − R = r1
−
=
=
m + m m + m m + m
m1( r2 − r1)
m1r12
r2′ = r2
− R =
=−
m + m m + m
dr′ m v
1 2 12
v1′ = =
dt m + m
p1′ = m1v1′ ⇒ p1′ = mv12
p′ = m v′ ⇒ p′ =−mv
2 2 2 2 12
m1
S2 = r2′ × p2′ =− r12 × ( −mv12)
m + m
F
HG
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
m2
m1
S = S1 + S2
= + r × mv ⇒ S = r × mv
m1 + m2
m1 + m2KJ I
1 2
1 2
dr2′
m1v12
v2′ = =−
dt m + m
1 2
⇒ p′ + p′ = 0
1 2
1 2
12 12 12 12
Estas expresiones nos indican que podemos reducir el problema de dos cuerpos con interacción
mutua a un problema de un solo cuerpo de masa m, velocidad v 12
y vector de posición respecto
del centro de masas r 12
, lo cual constituye una gran simplificación. Podemos de esta forma
estudiar el movimiento de un electrón respecto del núcleo considerando ambos reducidos a una
partícula de masa m sometida a la fuerza de interacción eléctrica entre ellos; o el movimiento de la
Luna alrededor de la Tierra como un cuerpo, de masa la reducida del sistema, bajo la acción de
una fuerza igual a la atracción gravitatoria entre ambos cuerpos.
PROBLEMAS: 41y 42.
C) ENERGÍA EN LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS
VIII – 12. Energía cinética de un sistema de partículas. Energía cinética interna del
sistema
Si n partículas de masas m 1
, m 2
, ..., m n
se encuentran, en un instante, en posiciones referidas a
un sistema inercial de origen O y determinadas por los vectores r 1
, r 2
, ..., r n
y en dicho momento
Fig. VIII-6.– Sobre las partículas m 1
y
m 2
solamente actúan las fuerzas de
interacción entre ellas. La ausencia
r
de fuerzas externas hace que
r
v CM =
cte .