Fisica General Burbano

358 ONDAS
XVII – 2. Ecuación de ondas en una dirección
Un «modelo» que vamos a tomar para explicar de una forma sencilla
muchas de las propiedades de las ondas, va a ser una cuerda tensa por
una fuerza externa; supongamos que en su extremo se produce, mediante
una sacudida brusca, un pulso de la forma indicada en la Fig. XVII-2, que
viaja hacia la derecha con una cierta velocidad c sin cambiar su forma.
Pretendemos obtener la forma de la ecuación que describa la altura y de
todos los puntos de la cuerda en todos los instantes, será por tanto de la
forma y = f(x, t). Veamos la progresión del pulso desde dos puntos de
vista; el primero es el de un observador O quieto en un extremo de la
cuerda, que, tras medir la altura y de cada punto x de ella en cada instante
t, propone la solución citada y = f(x, t). El segundo punto de vista es el
de un observador O′, que coincide inicialmente con O, y que se mueve
con el pulso a velocidad c sobre el eje X; puesto que para él la posición
del pulso no cambia, tras medir las alturas y′ de cada punto x′, propone la
Fig. XVII-2.– Propagación sin deformación de un «pulso» a lo
solución y = f(x′), sin incluir el tiempo ya que para él el pulso no se mueve.
El observador fijo O, para comparar sus medidas con las del observa-
largo de una cuerda tensa.
dor móvil O′, deberá aplicar las siguientes transformaciones, de acuerdo con la Fig. XVII-2:
x′ =x – ct y y′ =y, y obtiene: y = y′ =f(x′) = f(x – ct); en definitiva:
Fig. XVII-3.– La partícula O oscila con un MAS,
produciendo una perturbación y que se propaga a
lo largo de la cuerda con una velocidad constante c,
avanzando una distancia l en el tiempo en que O
realiza su oscilación.
y( x, t) = f( x − ct)
Cualquier perturbación que obedezca en todo instante esta relación, representará una onda
que se propaga hacia la derecha con una velocidad de propagación c.
Si la onda viaja en el sentido negativo del eje X con velocidad de módulo c, haciendo c′ =–c
en la expresión anterior tendremos:
y( x, t) = f( x + ct)
así pues, si los dos sumandos del argumento tienen el mismo signo se está representando
una onda que viaja hacia valores decrecientes de X (velocidad < 0), y si el
signo es distinto, la onda viaja hacia valores de X crecientes.
XVII – 3. Ondas armónicas: magnitudes fundamentales. Ecuación de la
onda armónica
Como tipo más básico y fundamental de onda, consideraremos la onda desarrollada
por una partícula que oscila en su lugar con un movimiento vibratorio
armónico simple.
Tomemos como «modelo» una cuerda tensa por una fuerza externa; hagamos
vibrar a su extremo O (x = 0) con un movimiento vibratorio armónico simple, su estado
vibratorio es:
y (0, t) = y 0
sen wt (3)
la perturbación se va a transmitir a lo largo de la cuerda tal y como se aprecia en la
Fig. VII-3.
Llamamos PERÍODO (T) al tiempo empleado por cualquier partícula en realizar
una oscilación completa y FRECUENCIA (n) al número de oscilaciones realizadas por la
partícula en la unidad de tiempo. La relación entre estas dos magnitudes fundamentales
es:
T = 1 n
En la ecuación (3) a w le llamamos FRECUENCIA ANGULAR y sabemos que viene
relacionada con el período y la frecuencia:
w = 2pn
=
Cada punto de la cuerda adquiere un MAS, aunque lo hace con un cierto «retraso»
respecto de O. Así, el punto A comienza su movimiento cuando O se encuentra
en su posición de máxima separación con respecto a su posición de equilibrio (y 0
:
amplitud del MAS) y habiendo transcurrido T/4 en su vibración armónica. El punto B
comenzará a vibrar transcurrido T/2 y cuando O se encuentra en la posición inicial
moviéndose hacia abajo. El punto D comienza su movimiento cuando ha transcurrido
un período T y O en ese instante comienza una nueva oscilación.
2p
T
(1)
(2)
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