Fisica General Burbano

206 DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
al inclinar el eje del volante hacia la horizontal la velocidad angular de la persona sentada disminuye.
Si el eje del volante se pone horizontal, al ser senj = 0 el individuo, vuelve al reposo.
X – 4. Momento de inercia de un sólido respecto de un eje. Radio de Giro
De la misma manera que la masa de un cuerpo le confiere inercia, que es la resistencia al cambio
de su momento lineal (cuando sobre una partícula aplicábamos distintas fuerzas y medíamos
las aceleraciones que éstas le producían, comprobábamos que existe una constante de proporcionalidad
entre ambas magnitudes, a la que llamamos masa inerte de la partícula), el momento de
inercia da a un sólido una resistencia al cambio de su momento angular, es, digamos, una inercia
en la rotación (cuando un sólido gira en torno a un eje fijo, la constante de proporcionalidad entre
los distintos momentos de las fuerzas aplicadas y las aceleraciones angulares que le producen, es,
en este caso, el momento de inercia del sólido respecto del eje de giro).
Hemos definido el momento de inercia de un sólido respecto de un eje como:
=z
2
I R dm
V
(5)
Fig. X-7.– R 1
, R 2
, ... R n
, son las distancias
al eje e de las partículas m 1
,
m 2
, ... m n
, que constituyen al sólido.
Fig. X-8.– Cilindro macizo y homogéneo
de masa M y radio R.
y para un elemento de masa dm a una distancia R del eje:
si consideramos al sólido como discreto, y son R 1
, R 2
, ... R n
, las distancias al eje (Fig. X-7), respecto
del cual queremos determinar el momento de inercia, de las partículas m 1
, m 2
, ...m n
, que lo
constituyen, su valor será:
La ecuación de dimensiones del momento de inercia es [I] = ML 2 , con lo que en el SI se medirá
en kg · m 2 .
Obsérvese que la magnitud momento de inercia depende únicamente del eje respecto del cual
lo calculamos, de la masa del sólido y de sus parámetros geométricos.
En determinados casos, para resolver la integral de volumen (5) recurrimos al concepto de
densidad: r = dm/dv, o r = M/V cuando el sólido es homogéneo; así por ejemplo, para determinar
el momento de inercia de un cilindro macizo y homogéneo de masa M y radio R, respecto de su
eje de simetría, consideramos el volumen limitado entre dos cilindros de radios r y r + dr (Fig. X-8),
su masa es: dm = 2prhr dr; por encontrarse distribuida simétricamente respecto al eje e, su momento
de inercia será: dI = r 2 dm = 2p hrr 3 dr, luego el momento de inercia de todo el cilindro
toma el valor:
y como la masa total del cilindro es: M = Vr = pR 2 hr, se obtiene: I = MR 2 /2.
Si definimos RADIO DE GIRO (K 0
) de un cuerpo de masa M respecto de un eje, como la distancia
al eje a la que habría que colocar un punto de la misma masa que el cuerpo para que tuviera el
mismo momento de inercia que el sólido (Fig. X-9), entonces:
X – 5. Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos). Teorema de los cuerpos planos (o
de los ejes perpendiculares)
En los casos en que no resulta tan sencillo aplicar la (5), se recurre al cálculo del momento de
inercia por métodos indirectos, para lo que se acude, siempre que sea posible, a los teoremas que
vamos a demostrar en este apartado y en el siguiente.
TEOREMA DE STEINER
z z
= = =
R
3
I dI 2p hr r dr 2p hr
R
4
0
I =∑ m R = MK ⇒ K =
i
2
i
dI = R dm
I=∑m i R
2
0
0
R
2
«El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje, es igual al momento de inercia
de tal cuerpo con respecto a un eje paralelo al primero y que pasa por el centro de masas,
más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes».
2
i
0
4
I
M
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Fig. X-9.– Radio de giro.
2
I = I′ + Md