Fisica General Burbano

TRAYECTORIAS EN UN CAMPO GRAVITATORIO 239
d) TRAYECTORIAS PARABÓLICAS. Para una parábola se tiene e = 1, con lo que
2
rv 0 0/ GM=
2 y la energía total resulta nula. La velocidad para esta trayectoria es:
2GM/r
0 que no es más que la velocidad de escape v E
ya mencionada. Se trata
también en este caso de trayectoria de m abierta y sin orbitar alrededor de M.
XI – 14. Características de las órbitas elípticas: semiejes, apogeo,
perigeo, período orbital y energía
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Supongamos un lanzamiento como el de la Fig. XI-20, en el que desde L hasta
A el satélite es impulsado por cohetes que lo abandonan en A, con v 0
perpendicular
a r 0
para que, a partir de ese punto, describa una trayectoria elíptica.
El punto A de la órbita se denomina PERIGEO*, es el más cercano a la Tierra, y
el A′ apogeo*, el más alejado. En nuestro caso, el perigeo está a una distancia al
centro de la Tierra, r p
, que coincide con la distancia inicial r 0
. Podemos expresar
las características de la órbita en función de las condiciones iniciales del vuelo libre
del satélite, r 0
y v 0
.
Si en la ecuación (13) de la órbita, sustituimos j por 0 y p radianes, obtendremos
los valores de r p
y r a
, respectivamente:
y en función de r 0
y v 0
:
h / GM
j = 0 ⇒ rp
=
2
1 + Ch / GM
h / GM
j= p ⇒ ra
=
2
1 − Ch / GM
y haciendo de nuevo los cambios:
J
h
m rv C 1 GM
= = 0 0
= −
2
r h
resultan los valores:
El SEMIEJE MAYOR de la órbita resulta, de la figura:
y en función de las condiciones iniciales:
Para la obtención del SEMIEJE MENOR, b, tendremos en cuenta que en
una elipse, la suma de distancias de cualquier punto a los dos focos es
constante e igual a 2a; por tanto: FB + F′B = 2a ⇔ FB = a, y en
consecuencia:
2 2 2 2 2
p p p p a a p
b = FB − FC = a −( a − r ) = r ( 2a − r ) = r r ⇒ b = r r
b = r v
0 0
Otra característica importante de este movimiento es el PERÍODO ORBITAL, es decir, el tiempo que
emplea el satélite en completar una órbita. Puesto que el área de una elipse es pab, y la velocidad
con que se barre es la velocidad areolar v A
= J/2m = h /2, el período orbital T, resulta:
T
2
2
r0
v0
rp
= r0
ra
=
2GM
− r v
GM r0
a =
2GM
− r v
r0
2GM
− r v
ab
= 2p
h
ra
+ rp
a =
2
cuya expresión en función de r 0
y v 0
se puede obtener sin más que sustituir los valores calculados
de a, b y h.
Podemos obtenemos una expresión de la ENERGÍA TOTAL en función del semieje mayor de la órbita,
a partir de las expresiones (14), (15) y (16), efectivamente:
0
2
2
0 0
2
2
0 0
2
0 0
(16)
Fig. XI-19.– Distintos tipos de órbitas en función de
la velocidad y posición iniciales. La zona sombreada
corresponde a trayectorias abiertas, con v ≥ v E
y E ≥
0. La zona sin sombrear corresponde a trayectorias ligadas,
con v < v E
y E < 0.
Fig. XI-20.– Características de la órbita elíptica de un satélite.
* Los puntos A y A′ se denominan en general PERIASTRO y APOASTRO, si el centro atractivo es el Sol su nombre es PERIHELIO y
AFELIO, y para satélites terrestres la denominación es PERIGEO y APOGEO.