Fisica General Burbano

ANÁLISIS GENERAL 209
MOMENTOS DE INERCIA DE ALGUNOS SÓLIDOS HOMOGÉNEOS
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PROBLEMAS: 1al 47.
X – 7. Dinámica del movimiento del sólido rígido con un punto fijo
En este movimiento el sólido tiene un punto fijo de velocidad nula y del vector v = v(t) varían
sus tres atributos (módulo, dirección y sentido). Eligiendo el punto P como fijo, la velocidad en un
instante determinado de cualquier partícula de masa dm, que diste r del punto P, vendrá dada
según (1) por: v = v × r, en la que v es la misma para todas las partículas que constituyen el sólido
en el instante que consideramos. El valor del MOMENTO ANGULAR DEL SÓLIDO RESPECTO DE P en
ese instante determinado, vendrá dado por:
por la propiedad del doble producto vectorial vista en II-17, podemos poner:
r × (v × r) = (r · r) v – (r · v)r = r 2 v – r(r · v)
sustituyendo nos quedará:
J = r v − r( r ? v dm ⇒ J = v r dm − r( r ? v)
dm
Supongamos que las componentes coordenadas del vector velocidad angular instantánea son
w x
, w y
y w z
y que las del vector de posición de la partícula dm son x, y, z. El valor del producto escalar
de estos dos vectores será: r · v = x w x
+ y w y
+ z w z
que sustituida en la anterior, nos quedará:
cuyas componentes coordenadas son:
J
z z
= × = × ×
J r vdm r ( v r)
dm
z z z
2 2
V V V
z z
= − + +
v r dm ( xw yw zw
) r dm
V
V
2
V
V
x
y
z