Fisica General Burbano

PROPAGACIÓN DE LA LUZ, REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN 575
En efecto: llamando b al vector unitario normal al plano de incidencia y dirigido hacia afuera
del plano de la Fig. XXIV-12 y multiplicando vectorialmente la ecuación (3) por h, obtenemos:
u × h + u′ ×h = 0 ⇒ sen eb – sen e′b = 0 ⇒ sen e = sen e′ ⇒ e = e′ c.q.d.
PROBLEMAS: 2al 6.
4ª. «Cuando un rayo luminoso se refracta en la superficie de separación de dos medios, el
rayo incidente, la normal a la superficie en el punto de incidencia y el rayo refractado están
en un mismo plano, que es el de incidencia».
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En efecto: Sea A un punto situado en un medio homogéneo de índice de refracción n y otro B
situado en otro medio homogéneo de índice de refracción n′; ambos medios se encuentran separados
por una superficie S (Fig. XXIV-13); procediendo analíticamente de la misma forma que lo
hemos hecho para la reflexión, resulta:
C = ns + n′s′ =nu · s + n′u′ · s′ ⇒ dC = ndu · s + nu · ds + n′ du′ · s′ +n′ du′ · s′ +n′u′ · ds′
y como: du · s = du′ · s′ =0 ∧ ds = ds′
y la condición de camino óptico mínimo, tendremos:
dC = (nu + n′u′) · ds = 0 ⇒ nu + n′u′ =bh (b Î R) (4)
en consecuencia: el rayo incidente que tiene la dirección y sentido de u, el rayo refractado con dirección
y sentido –u′ y el vector unitario normal a la superficie de separación de ambos medios en
el punto de incidencia h, son coplanarios; quedando así demostrado el teorema.
5ª. «La relación entre los senos de los ángulos de incidencia y los de refracción es una cantidad
constante, igual al cociente entre el índice de refracción del segundo medio y el índice
de refracción del primero» (LEY DE SNELL).
sen
sen
En efecto: utilizando b, definido para la reflexión y multiplicando vectorialmente (4) por h, obtenemos:
nu × h + n′u′ ×h = 0 ⇒ n sen eb – n′ sen e′b = 0 ⇒ n sen e = n′ sen e′ c.q.d.
6.ª «Si un rayo de luz va de un punto a otro siguiendo una trayectoria, puede ir del segundo
al primero recorriendo el mismo camino en sentido inverso» (LEY DE REVERSIBILIDAD DE
RAYOS).
La demostración es inmediata, puesto que si la luz siguiera el camino en el sentido inverso BA
a como lo hemos tomado en la reflexión y en la refracción, el camino óptico mínimo seguiría correspondiendo
al mismo trayecto.
PROBLEMAS: 7al 9.
XXIV – 6. Construcción geométrica del rayo refractado
Sea CD (Fig. XXIV-14) la superficie de separación de dos medios de índices de refracción n y
n′, IS es el rayo incidente. Se trata de trazar el rayo refractado conocidos n, n′ y la dirección de incidencia.
Con centro en S y con radios SA y SA′, respectivamente iguales a n y n′, se trazan dos circunferencias.
Por el punto P (intersección de la prolongación del rayo incidente y la circunferencia de
radio n), se traza una paralela a la normal NM. El punto en que esta recta N′M′ corta a la circunferencia
de radio n′ (punto P′) unido con S, determina el rayo refractado SR.
En efecto: el ángulo de incidencia e es igual al SPS ·′ por correspondientes; su seno es (triángulo
SPS′): sen e = SS′/SP. El ángulo e′ (que queremos demostrar es el de refracción) es igual a
SP ·′ S ′ por alternos internos; su seno es (triángulo SP′S′): sen e′ =SS′/SP′. El cociente de los dos
senos es:
sen
sen
e n
= ′ = cte ⇔ n sen e= n′
sen e′
e′
n
e
=
e′
SP
SP
′ n′
=
n
⇒ nsen
e= n′
sen e′
Por cumplirse las leyes de la refracción, SR es el rayo refractado.
XXIV – 7. Ángulo límite y reflexión total. Aplicaciones
ÁNGULO LÍMITE es el ángulo de incidencia que corresponde a uno de refracción de 90º.
Al rayo A (normal) (Fig. XXIV-15) corresponde el refractado A′ (normal); al B el B′, apartado
de la normal más que el incidente; a C el C′ rasante a la superficie. El ángulo de incidencia l, al
que corresponde el refractado ·′ ASC′ = 90º
, es el ángulo límite.
Fig. XXIV-13.– Refracción de la luz.
Fig. XXIV-14.– Construcción geométrica
de Huyghens del rayo refractado.
Fig. XXIV-15.– Ángulo límite y reflexión
total.