Fisica General Burbano

DINÁMICA RELATIVISTA 659
B) DINÁMICA RELATIVISTA
Las leyes de la mecánica de Newton eran invariantes ante las transformaciones de Galileo. En
los casos en que intervienen velocidades que no son despreciables frente a la de la luz en el vacío,
esas ecuaciones de transformación han sido sustituidas por las de Lorentz. Tenemos pues que formular
en este caso las leyes dinámicas de forma que sean invariantes respecto de estas últimas
ecuaciones de transformación.
XXVII – 12. Estudio de una colisión elástica. Carácter relativista de la masa
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Hay dos formas de medir la masa de un cuerpo. Una de ellas consiste en pesarlo dentro de un
campo gravitatorio: el valor así obtenido se denomina «masa gravitatoria» del objeto. El segundo
método consiste en relacionar la fuerza que se aplica al cuerpo y la aceleración que se le produce;
el resultado de medidas de este tipo se denomina «masa inercial». Ahora bien, para medir una
aceleración hay que hacer medidas de longitudes y de tiempos, luego si éstas, como sabemos, dependen
de la velocidad relativa entre objetos y observador, es inmediato que el valor obtenido
para la masa inercial dependerá de dicha velocidad.
Llamaremos m 0
a la «MASA PROPIA» o «MASA EN REPOSO» de una partícula, es decir, la masa medida
en el sistema de referencia de la partícula.
Como se verá a continuación, para mantener invariante en una transformación de Lorentz la
ley de conservación del momento lineal, se puede definir éste mediante la expresión p = g m v,
en la que m se entiende como cantidad de materia, invariante en un cambio entre sistemas inerciales.
Se prescinde así del concepto de masa en reposo; la masa de un cuerpo tiene un único valor
para todos los sistemas inerciales.
Sin embargo, si entendemos la masa de un cuerpo no como su cantidad de materia, sino como
una medida de su inercia, podemos emplear para el momento lineal la expresión p = m v, dándole
a la masa inercial una dependencia con la velocidad mediante la expresión:
m= m =
g 0
m0
V
1 −
c
y al momento: p = m v = g m 0
v. Las dos formas de tratar el momento lineal conducen a idénticos
resultados. En lo que sigue adoptaremos la segunda de las formas mencionadas.
Una primera consecuencia de la expresión (18) es la imposibilidad para cualquier partícula
con m 0
≠ 0, de ser acelerada hasta alcanzar la velocidad de la luz respecto del observador. Cuando
v tiende a c, la masa inercial tiende a infinito; para conseguir v = c, habría que ejercer sobre la
partícula una fuerza infinita. En la actualidad se consigue acelerar electrones hasta velocidades del
orden de c – 10 –9 c, sin embargo c es inalcanzable.
Vamos ahora a demostrar que el carácter invariante de la conservación del momento lineal
exige la verificación de la expresión (18).
Supongamos dos partículas, de la misma masa en reposo, que sufren una colisión elástica. Elegimos
como sistema de referencia S′ uno, como el de la Fig. XXVII-10, en que la simetría respecto
del punto de impacto es total. Designando con tilde las magnitudes medidas desde este sistema, se
verifica que m′ = m′ p′ = p′ p′ = p′
, las componentes X′ de las velocidades son iguales y
1 2, 0x fx,
0y fy
permanecen inalteradas y las componentes Y′, también iguales, cambian de sentido en la colisión.
Para evitar problemas con la medida «simultánea» de los momentos lineales, consideramos que todas
las magnitudes citadas son medidas durante el impacto y que las partículas no interaccionan a
distancia.
Tomamos como sistema S uno respecto del cual S′ se desplaza a velocidad V = v′ 2 x , en la dirección
común de los ejes X y X′, como en la Fig. XXVII-11. En este sistema:
v
1x
por ser: V = v′ 2x
=− v1′
x
; luego la partícula 1 se mueve perpendicularmente al eje X.
Para la partícula 2, podemos comprobar mediante las relaciones de transformación de velocidades,
que v2y
< v2′
y, por tanto, el observador S ve la trayectoria de 2 más achatada hacia el eje
X de lo que la ve S′ respecto de X′.
La conservación del momento lineal en el eje X es evidente. En el eje Y existen las siguientes
variaciones de p:
2
2
− v1′ x + V
=
= 0
V
1 + ( − v′
2 x )
c
Dp 1
= –m 1
v 1y
– (m 1
v 1y
) = –2 m 1
v 1y
(18)
Fig. XXVII-10.– Colisión en S′.
Dp 2
= m 2
v 2y
– (–m 2
v 2y
) = 2 m 2
v 2y
La conservación de p y
implica: m 1
v 1y
= m 2
v 2y
o bien m 2
/m 1
= v 1y
/v 2y
. Como vamos a ver, esas
dos velocidades son distintas, por lo tanto a las dos partículas se les debe medir distinta masa en
Fig. XXVII-11.– Colisión en S.