Fisica General Burbano

266 ESTUDIO BÁSICO DE LA ESTRUCTURA DE LA MATERIA. MECÁNICA DE FLUIDOS
y como dV = Adl y v = dl/dt, entonces:
G =
Av
Fig. XII-45.– Volumen elemental de
fluido en movimiento centrado en un
punto P.
que para distintas secciones de una canalización por la que circula un fluido en régimen de Bernouille
permanecerá constante.
Una forma general de la ecuación de continuidad como fenómeno local (en cada punto del
fluido), y sin ser necesario considerar al fluido como incompresible, se obtiene de la siguiente manera:
consideremos un volumen elemental, dt = dx dy dz, en el que no existen ni fuentes ni sumideros,
centrado en P como en la Fig. XII-45 y en el interior de un fluido en movimiento.
Si es v(v x
,v y
,v z
) la velocidad del fluido en P, las componentes según el eje X de la velocidad
sobre las caras A 1
y A 2
serán respectivamente:
y la masa que en un tiempo dt entra por la cara A 1
: dm 1
= r v x1
dt A 1
, con lo que:
De la misma forma, la masa del fluido que en el tiempo dt sale por la cara A 2
es: dm 2
= r v x2
dt A 2
,
y por tanto:
El aumento con el tiempo de la masa de fluido en el volumen dt debida al flujo en la dirección
del eje X es:
Con un cálculo análogo para las restantes caras de dt se obtiene la variación temporal de la
masa que resulta:
Por otro lado, la masa contenida en dt en un instante t, es dm = r d t, y si la densidad cambia
con el tiempo las variaciones de la masa y de la densidad vendrán relacionadas por la expresión:
Igualando las dos expresiones tenemos:
que es la ECUACIÓN DE CONTINUIDAD para fluidos en movimiento. (En el caso en que dentro del volumen
considerado dt existiera alguna fuente o sumidero esta ecuación sería distinta de cero). Si la
suma de los tres primeros términos es negativa existe un flujo de masa neto hacia el interior del volumen,
en consecuencia la masa en el interior del elemento se «amontona». Para líquidos, que
consideraremos incompresibles, la densidad es constante y la ecuación se reduce a: div v = 0 y
aplicando el teorema de Ostrogradsky-Gauss*:
z z
v? dA = div vdt = 0
A
V
y como en régimen de Bernouilli dA y v son paralelos entonces:
PROBLEMAS: 85al 88.
v
F dmI dm1 dm2 vx
v
dx dy dz
HG
dt K J = − =− r =−
dt dt x
x
= v dx
v dx
vx
− x
x
vx
vx
x 2 = +
x 2
x1 2
dm
dt
dm
dt
1
dm
dt
2
L
NM
r
F
H G I K J
vx
dx
= vx
− dy dz
x 2
r
F
H G I K J
vx
dx
= vx
+ dy dz
x 2
( rv
v
x) ( r y) ( rvz
)
=− + + d t
x y z
( rv
) ( rv
)
x y ( rvz)
r
r
+ + + = 0 ⇔ div ( rv)
+ = 0
x y z t t
v · dA = d (vA) = 0 ⇒ Av = cte
XII – 26. Alturas geométricas, piezométrica y cinética. Carga de un fluido
dm
dt
= r
t d t
Supongamos un fluido en movimiento y consideremos una porción de él limitada por líneas de
corriente (Fig. XII-46). En un punto A, en el que la sección normal a la línea de corriente que pasa
O
QP
x
r x d t
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
** Ver párrafo VII-10.