Fisica General Burbano

CONDUCTORES CARGADOS EN EQUILIBRIO. CAPACIDAD 421
Consecuencia de esto es que la superficie de un conductor en equilibrio es una superficie equipotencial
y por tanto las líneas de fuerza del campo deberán ser normales a ella, conclusión a la
que ya habíamos llegado con otros argumentos.
XIX – 5. Campo y potencial creado por una esfera conductora en un punto exterior
Supongamos una esfera conductora en la que la carga se ha distribuido uniformemente sobre
su superficie y un punto P exterior a ella a distancia r del centro. Con radio r tracemos una esfera
concéntrica a la electrizada; el flujo a través de su superficie es:
z z z
f = E? dA
= EdA = E dA = E 4pr
A A A
pasando de la primera igualdad a la segunda, considerando que el ángulo que forman E y d A es
cero y por tanto el coseno es uno; de la segunda a la tercera considerando que, por simetría, el
módulo del campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica; de la tercera a la
cuarta, teniendo en cuenta el valor de la superficie de una esfera. Si Q es la carga total localizada
en la superficie de la esfera, la aplicación del teorema de Gauss conduce a:
2
Fig. XIX-5.– Esfera conductora cargada
en equilibrio.
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f = 2
p = Q
E r
e
⇒ = Q
4
E
pe r
= K
4
En cuanto al potencial lo obtenemos:
z z z z
∞
∞
∞
∞
Q Q dr
Q
V = E?
dr
= E dr = dr = ⇒ V = = K
2
2
r
r
r 4pe0
r 4pe0
r r
4pe0
Las dos ecuaciones obtenidas nos indican que el campo y el potencial producidos por una esfera
uniformemente cargada en un punto exterior a ella, son los mismos que los que originaría su
carga localizada en el centro de la esfera.
XIX – 6. Potencial de un conductor esférico
Puesto que todos los puntos de un conductor esférico en equilibrio eléctrico están al mismo
potencial, calcularemos el potencial en un punto de su superficie y el resultado obtenido tendrá validez
para todos sus puntos. La aplicación de la fórmula anterior conduce a:
Q
V = = K
pe R
siendo Q la carga total del conductor y R su radio.
0 0
XIX – 7. Capacidad. Unidades. Capacidad de un conductor esférico
«CAPACIDAD de un conductor (C) es la relación entre su carga (Q) y su potencial (V)».
Si un conductor cargado A se pone en comunicación con otros en estado neutro B, C, etc.
(Fig. XIX-7), todos los conductores quedan al mismo potencial, por formar el conjunto un conductor
en equilibrio; sin embargo, sus cargas son distintas, indicando que los cuerpos tienen distinta
capacidad. Ocurre algo semejante cuando un vaso con un líquido se comunica con otros; el nivel
es el mismo en todos los vasos cuando se llega al equilibrio, pero la cantidad de líquido en cada
uno de ellos es distinta, indicando diversas capacidades.
Si en un vaso se duplica, triplica, etc., la altura del líquido, el volumen de éste se duplica, triplica,
etc. Si a un conductor le duplicamos, triplicamos... el potencial, su carga se duplica, triplica,
etc., es decir:
Q
V
4 0
C =
Q V
Q′
Q
=
C
V ′ = ′′
V ′′ =
En resumen, si tenemos un conductor alejado de la influencia de otros cuerpos y está cargado
con la carga Q a un potencial V, al aumentar o disminuir Q, V aumenta o disminuye de tal manera
que Q/V permanezca constante. A la relación Q/V se le llama capacidad del conductor.
Haciendo Q = 1 UEE y V = 1 UEE, entonces, C = 1 CENTÍMETRO (cm), que será la unidad de
capacidad del sistema de UEE.
Si Q = 1C y V = 1 V, entonces C = 1 FARADIO (F), que es la unidad de capacidad en el SI.
0
Q R
Q r
2 0 2
0
Q r
Fig. XIX-6.– Representación gráfica
de las funciones E(r) y V(r) para una
esfera conductora cargada en equilibrio.
Fig. XIX-7.– Símil hidrostático con la
capacidad eléctrica de un cuerpo.