Fisica General Burbano

158 TRABAJO Y ENERGÍA. TEORÍA DE CAMPOS. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
tg j =
Rw
K − mw
2
Rw
=
m ( w
2 − w
2 )
0
2 2 2 2 2 0
0
F = A ( Rw) + ( K − mw
) ⇒ A =
F
F0
=
2 2 2
2 2 2
( Rw) + ( K − mw ) R w + m ( w − w )
2 2 2
0
(11)
Fig. VII-28.– Construcción de Fresnel.
en las que w 0 = K / m es la FRECUENCIA PROPIA o NATURAL del oscilador libre (sin fuerza externa).
El término z = R 2 + ( K/ w − mw)
2
se denomina IMPEDANCIA MECÁNICA del oscilador. Estas
ecuaciones nos resuelven el problema de determinar el desfase y la amplitud de las vibraciones
forzadas en función de las características del oscilador y de la fuerza periódica aplicada. Obsérvese
que el sistema vibra con la frecuencia de la fuerza impulsora y no con la frecuencia propia del oscilador,
resultando un movimiento en el que la amplitud de la oscilación no disminuye.
El movimiento en realidad consta de dos fases (Fig. VII-29), en la primera, (régimen transitorio),
el efecto del amortiguamiento es apreciable, pero por decaer este con el tiempo, se pasa a
una segunda fase (régimen permanente), que es la analizada hasta aquí y a la que nos referiremos
en adelante.
Fig. VII-29.– Variación de x con t en
un movimiento vibratorio forzado y
con amortiguamiento.
VII – 30. Fenómenos de resonancia
Fig. VII-30.– Representación gráfica de la amplitud de un oscilador armónico forzado
y amortiguado en función de la relación entre las frecuencias impulsora y propia
no amortiguada. Las seis curvas que aparecen corresponden a seis valores diferentes
de amortiguamiento, desde cero (curva 1) a un valor muy alto (curva 6).
Obsérvese que el pico de resonancia en la amplitud se aproxima a w / w 0
= 1 a
medida que R disminuye.
La expresión (11), indica que la amplitud del oscilador amortiguado y forzado, para un valor
dado de F 0
, depende de la frecuencia de la fuerza impulsora externa. Cuando el valor de la amplitud
sea máximo diremos que existe resonancia en la amplitud.
«Un sistema entra en RESONANCIA EN LA AMPLITUD cuando para un determinado valor de la
frecuencia, la amplitud de las oscilaciones forzadas se hace máxima».
Obtenemos el valor de la frecuencia de resonancia en la amplitud haciendo mínimo el denominador
de (11): considerando como única variable la pulsación de la fuerza periódica, la derivada
del radicando con respecto a w debe ser nula, es decir:
R 2 2w – 2 (K – mw 2 )2mw = 0
de donde obtenemos para la pulsación en esta resonancia:
y para la frecuencia:
w
A
2
K R
2 R
= − = w −
2 0 2
m 2m
2m
n
A
2
1 K R
2 R
= − = n −
2 0
2p
m 2m
8p
m
donde w 0
y n 0
son, respectivamente la frecuencia angular y
la frecuencia propias del oscilador.
Es evidente en estas expresiones, que la frecuencia de
resonancia en la amplitud tiende al valor de la frecuencia
propia del oscilador conforme el coeficiente de amortiguamiento
R se hace más pequeño. En el límite R = 0 (oscilador
sin amortiguar) se obtiene w A
= w 0
, y la amplitud
adopta la expresión:
F0
F0
F0
A = =
=
2
2 2 2 2 2
K − mw m ( w − w ) 4p m ( n − n )
0
2
2
2 2
que nos indica que la amplitud es tanto más pequeña
cuanto más diferentes son la frecuencia propia del sistema
no amortiguado (n 0
) y la de la fuerza externa (n).
Representamos en la Fig. VII-30 las curvas de la amplitud
en función de la relación entre las frecuencias de la
fuerza externa y la propia del oscilador. En la curva (1), en
la que R = 0, la amplitud se hace infinita cuando w = w 0
puesto que la fuerza periódica externa aplicada suministra
continuamente energía al oscilador y ésta no se disipa; no
siendo real este caso, puesto que siempre existe algo de
amortiguamiento, la amplitud nunca se hace infinita pero
0
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR