Fisica General Burbano

DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS
CAPÍTULO VIII
DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE
PARTÍCULAS DISCRETOS
A) SISTEMAS DE PARTÍCULAS DISCRETOS
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
En lo que sigue, entenderemos por «SISTEMA DE PARTÍCULAS» un conjunto de ellas limitado por
una superficie cerrada (real o imaginaria) que lo separa del «medio», es decir, del resto del Universo.
Como ejemplos de sistemas discretos podemos pensar en el gas contenido en un recipiente, el
sistema solar...
En la primera parte del tema, estudiaremos la dinámica de los «sistemas cerrados», que no intercambian
masa con el medio, para concluir en la segunda parte con una referencia a los «sistemas
abiertos», en los que la masa es variable; siempre dentro de la mecánica newtoniana y sin
considerar efectos relativistas. En el capítulo siguiente se estudiará el «sólido rígido» como sistema
continuo.
VIII – 1. Segunda ley de Newton para un sistema de partículas. Momento lineal del
sistema: teorema de conservación
Supongamos un sistema de n partículas de masas m 1
, m 2
, ..., m n
, cuyas posiciones respecto del
origen O de un sistema de referencia inercial, están definidas por los vectores de posición r 1
, r 2
, ..., r n
,
como en la Fig. VIII-1.
Sobre estas partículas actúan fuerzas que se pueden clasificar en dos grupos: 1) FUERZAS EXTE-
RIORES que obran sobre cada partícula como resultado de su interacción con otras partículas no
pertenecientes al sistema. Las designaremos mediante los vectores F 1
, F 2
, .... F n
. 2) FUERZAS INTE-
RIORES, que son consecuencia de la interacción de cada partícula con el resto de las que constituyen
el sistema. A la fuerza que la partícula m j
ejerce sobre la de masa m i
la designaremos F ij
. Es
evidente que en esta notación se verifica F ii
= 0, para cualquier i desde 1 hasta n.
Las fuerzas interiores, en particular, verifican el principio de acción y reacción, con lo que para
cualquier pareja de partículas del sistema podemos escribir: F ij
= – F ji
.
El estudio dinámico completo del sistema requiere la determinación de la ecuación de movimiento
de cada partícula. Para realizarlo consideremos una de las partículas, la de masa m i
; aplicándole
la 2ª ley de Newton se obtiene:
dpi
.
n
.
Fi + Fi1 + Fi2 + ... + Fin
= = pi = miai ⇔ Fi
+ ∑ Fij = pi = miai
dt
j = i
Conocida la expresión de las fuerzas que actúan sobre m i
, obtendremos mediante esta ecuación
la de la aceleración, e integrando respecto del tiempo, las de la velocidad y vector de posición.
Por lo tanto resolviendo n ecuaciones como la anterior tendremos una información exhaustiva
sobre la evolución del sistema.
Sin embargo, este modo de descripción del sistema presenta, como es obvio, varias dificultades.
La primera de ellas radica en el número de partículas, que puede ser muy elevado (piénsese
la tarea que supone describir el movimiento de las moléculas que existen en un recipiente de 1 l de
volumen y que estando en condiciones normales contiene aproximadamente 2,7 × 10 22 , necesitándose
otras tantas ecuaciones para su explicación). Otra dificultad importante proviene de que
de esta forma se necesita la expresión de las fuerzas interiores que, cuando son conocidas, son de
difícil descripción.
Para solucionar esta situación se recurre a la introducción de nuevas variables, referidas al sistema
en conjunto, que permiten obtener la información suficiente para afrontar cualquier problema
de la dinámica newtoniana. La primera de ellas es el MOMENTO LINEAL DEL SISTEMA DE PARTÍ-
CULAS.
Sumando las ecuaciones del movimiento de las n partículas obtenemos:
F
H
∑ F + ∑ ∑ F
i
i
i
i
ij
I
K
dpi
=∑ =∑miai
i dt i
Fig. VIII-1.– Se han dibujado únicamente
las fuerzas que se ejercen sobre
m 1
, m i
, m j
y m n
desde el exterior
del sistema y solamente las interiores
de interacción entre las m i
y m j
.
en el segundo sumando están contenidas todas las parejas de acción y reacción entre las partículas
del sistema y por tanto será nulo. Por otra parte Σ F i
es la fuerza externa total, o lo que es lo mismo,
la resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema. Si la llamamos F ex
, la
ecuación anterior quedará: