Fisica General Burbano

z z
D? dA = div D dv
AT
v
comparando las dos últimas ecuaciones obtenemos:
EL VECTOR DESPLAZAMIENTO 437
div D = r
(PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL)
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
ecuación que es una, del conjunto de cuatro, conocido como ECUACIONES DE MAXWELL, y que iremos
enumerando.
La ley de Gauss es importantísima para el cálculo de campos eléctricos en algunos casos particulares,
en los que intervienen materiales dieléctricos, como el que vamos a ver a continuación.
Considerando un ion esférico de carga Q sumergido en un líquido dieléctrico lineal, homogéneo
e isótropo. Las moléculas del líquido se orientarán en la forma indicada en la (Fig. XIX-45)
pues el campo que crea el ion tiene simetría radial. Se trata de calcular el valor del campo a una
distancia r del centro del ión conocida la permitividad dieléctrica del medio líquido, que llamamos
e. Si tratamos de calcular el campo, aplicando el teorema de Gauss al vector E y a una superficie
esférica de radio r, no conseguimos nada pues desconocemos el valor de la carga ligada encerrada
en ella; pero sí podemos aplicarlo al vector D puesto que la integral de superficie de D es igual a
la carga libre encerrada, que en este caso es la del ión:
z
2
Q
1 Q
D? dA = 4p
r D = Q ⇒ D = r ∧ D = e E ⇒ E = r
3 3
A
4p
r
4pe
r
XIX – 26. Condensadores con más de un dieléctrico
Supongamos un condensador plano que tiene entre sus armaduras n dieléctricos LHI en forma
de paralelepípedos rectángulos de espesores e 1
, e 2
, ... e n
y de permitividades e 1
, e 2
, ..., e n
(Fig. XIX-
46). Lo cargamos conectando sus armaduras a una fuente de alimentación y, en condiciones estáticas,
queda cargado con una carga Q y a una tensión V. La aplicación del teorema de Gauss a la
superficie cerrada S, de puntos en la Fig. XIX-44, nos conduce a:
z
D? dA
Q D dA dQ D dQ Q
= ⇔ = ⇒ = = = s
S
dA A
siendo el vector D el mismo en todos los puntos del interior del condensador plano. Los valores de
los campos eléctricos en el interior de cada uno de los dieléctricos, serán:
D
D
D
D = e E ⇒ E1
= , E2
= ,..., En
=
e e e
Como las tensiones entre las caras planoparalelas de separación entre los dieléctricos valen:
V 1
= E 1
e 1
, V 2
= E 2
e 2
, ..., V n
= E n
e n
la tensión total entre las placas del condensador será:
1
V V E e D e i ei
i i i
Q
A Q 1
= Σ = Σ = ∑ = ∑ = ∑
e e C
en la que hemos llamado C i
= e i
A/e i
a la capacidad de un condensador plano con un dieléctrico
de permitividad e i
, que llena sus armaduras. Llamando C = Q/V a la capacidad total del sistema
(capacidad del condensador equivalente), obtenemos:
1 V 1
C
= Q
= ∑
i
luego la capacidad equivalente al de la Fig. XIX-46, es igual a la de n condensadores colocados en
serie.
Si entre las armaduras de un condensador plano que distan d entre sí, introducimos una lámina
plano-paralela de espesor e y paralela a las armaduras (Fig. XIX-47), el sistema obtenido equivale
a conservar el vacío entre ellas y acercarlas entre sí una distancia:
C i
i
2
i
n
Fig. XIX-45.– Ión esférico de carga
positiva sumergido en un líquido
dieléctrico.
Fig. XIX-46.– Condensador plano
con más de un dieléctrico entre sus
armaduras.
e′ − 1 e0
A
∆d = e ⇒ C =
e′
d − ∆d
En efecto: según acabamos de demostrar, la capacidad equivalente será:
Fig. XIX-47.– Si los condensadores
tienen la misma capacidad, ¿cuánto
vale Dd ?