Fisica General Burbano

LA FUNCIÓN POTENCIAL DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO 411
«Las superficies equipotenciales se cortan normalmente con las líneas del campo».
Son propiedades inmediatas de las superficies equipotenciales: 1) Las superficies equipotenciales
no se cortan (el potencial en un punto tiene un único valor). 2) En el interior de una superficie
equipotencial cerrada de potencial no nulo existe necesariamente carga neta no nula.
PROBLEMAS: 55al 83.
XVIII – 31. Cálculo del potencial eléctrico debido a un volumen esférico en el que se
halla distribuida uniformemente carga eléctrica
En el párrafo XVIII-23, por aplicación del Teorema de Gauss, se ha obtenido para valor de la
intensidad del campo eléctrico producido por una carga Q uniformemente distribuida en un volumen
esférico de radio R, para un punto situado en el exterior (r ³ R) de la misma y a una distancia
r del centro:
Eext K Q 1 Q
= 0 r = r
3
3
r 4pe r
0
Fig. XVIII-37.– Superficies equipotencial.
llamando r a la carga de la unidad de volumen:
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y para un punto en el interior de la esfera (r > R):
en función de r:
dQ Q 3Q
4 3
R r r
r = = = ⇒ Q = p R r ⇒ E =
3
ext
3
dV V 4p
R
3 3 e r
Para calcular el potencial en un punto exterior (r > R), mediremos el trabajo realizado por el
campo al transportar la unidad de carga del punto al infinito, que viene dado por:
esta integral es independiente del camino recorrido; haciendo el transporte de la unidad de carga a
lo largo de una línea de fuerza E y dr son paralelos; luego:
z
R R L ∞
O
z∞ 3
3 ∞
3
r r 1
r R
Q
V = Edr = dr = − ⇒ V = ⇒ V =
2
r
r 3 e0
r 3 e0
NM rQP r
3e0 r
4pe0
r
El potencial en un punto del interior de dicha esfera (r £ R) vendrá dado por el trabajo realizado
por el campo interior al transportar la unidad de carga desde el punto a la superficie de la esfera
más el realizado por el campo exterior al transportarla de la superficie al infinito. Viene dado
por:
estas integrales son independientes del camino recorrido; haciendo el transporte de la unidad de
carga a lo largo de una línea de fuerza E y dr, son paralelos; luego:
z z z z
R
r R L R
R
R
r
V = Eext
dr + Eint
dr = dr + dr
O L
= − +
R
r
r
r NM rQP N
M
O
∞ ∞ 3
3
r
∞
2
r r 1 r
P ⇒
2
3 e0
3e0
3e0 3e0
2
en ambos casos si hacemos r = R:
R R r
L
N
O
Q
2
2 2 2 2
r R r R r
Q( 3R − r )
V = + M − P ⇔ V =
3
3e
3e
2 2
8 pe R
0 0
z∞
R
E
int =
V = zE?
dr
V E ? dr E ? dr
= +z
ext
r e 3 0
r
∞
R
V = r 3 e
El potencial se hará máximo en el centro de la esfera y toma el valor (r = 0): V = r R 2 /2 e 0
.
Si la carga distribuida en la esfera fuese negativa, la gráfica del potencial, en la Fig. XVIII-38,
sería la simetría respecto del eje r.
Podemos obtener el mismo resultado calculando, el potencial como función de r dentro y fuera
de la distribución de carga. A continuación para obtener E lo haremos calculando el grad V; en
este caso, el procedimiento es más complicado que como lo hemos realizado.
0
2
r
r
R
int
E
int
1 Qint
r Q
= =
2
4p r e r 4pe
R
0
3
0
0 0
Q
3
r
Fig. XVIII-38.– En una esfera uniformemente
cargada, la intensidad E
aumenta linealmente desde el centro
a la superficie de la esfera y disminuye
según la inversa del cuadrado de
la distancia fuera de ella. El potencial
V disminuye parabólicamente en el
interior y disminuye según la inversa
de la distancia fuera de ella.