Fisica General Burbano

60 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
se realiza de la siguiente manera: consideremos dos ejes coordenados X e Y, y un ángulo arbitrario
wt formado por una recta (OB) con el eje Y (Fig. III-28). Formando ángulos j 1
y j 2
con tal recta,
tracemos vectores iguales a A 1
y A 2
que, por tanto, formarán entre sí un ángulo (j 1
– j 2
). La amplitud
resultante de tales movimientos es A, vector resultante de A 1
y A 2
, que como diagonal de un
2 2 2
paralelogramo cumple con la ecuación A = A1
+ A2
+ 2A1A2 cos ( j1 − j2)
. El ángulo formado
por A con OB, nos da j, fase inicial del MAS resultante.
Girando el paralelogramo en torno al origen con una velocidad angular constante* v, las sucesivas
proyecciones A 1
y A 2
sobre el eje X determinan las elongaciones de los movimientos componentes,
ya que sus valores son:
proy x
A 1
= A 1
sen (wt + j 1
) = x 1
proy x
A 2
= A 2
sen (wt + j 2
) = x 2
Las sucesivas proyecciones de A sobre X, determinan el MAS resultante.
Fig. III-28.– Construcción de Fresnel
para la composición de dos MAS de la
misma dirección y frecuencia.
Fig. III-29.– Construcción de Fresnel
para los tres casos particulares del
párrafo III-17.
proy x
A = A sen (wt + j) = x
Si en vez de proyectar sobre el eje X, proyectamos sobre el eje Y, las ecuaciones de los MAS y
del resultante son:
y 1
= A 1
cos (wt + j 1
) y 2
= A 2
cos (wt + j 2
) y = A cos (wt + j)
teniendo A y j los valores ya calculados.
PROBLEMAS: 79al 83.
III – 18. Composición de movimientos vibratorios armónicos de la misma dirección
y diferente frecuencia. Serie de Fourier
Sean las ecuaciones de los movimientos:
x 1
= A 1
sen (w 1
t + j 1
) x 2
= A 2
sen (w 2
t + j 2
)
con w 1
= 2pn 1
= 2p/T 1
y w 2
= 2pn 2
= 2p/T 2
. El movimiento resultante obedecerá a:
x = x 1
+ x 2
= A 1
sen (w 1
t + j 1
) + A 2
sen (w 2
t + j 2
)
El movimiento resultante deja de ser armónico, y si el cociente w 1
/w 2
no es un número racional
el movimiento tampoco es periódico.
Si w 1
/w 2
= n 1
/n 2
= T 2
/T 1
= n 1
/n 2
(n 1
y n 2
números primos entre sí), el movimiento es periódico
y su período tiene por valor: T = n 1
T 1
= n 2
T 2
(mínimo común múltiplo de T 1
y T 2
).
En efecto: si en la ecuación que nos da el valor de x añadimos un período al tiempo t, obtendremos:
obteniendo la misma elongación de la que partimos, también las derivadas primera y segunda de
x y x ′ con respecto a t, son iguales y, por tanto, lo son la velocidad y aceleración del movimiento,
como queríamos demostrar.
Ahora bien, todo número irracional se puede aproximar todo lo que queramos al cociente de
dos números enteros primos entre sí, con lo que podremos decir con suficiente aproximación que:
«el movimiento resultante de dos vibratorios armónicos de la misma dirección y diferente frecuencia
es periódico».
La expresión de x 2
la podemos poner:
x 2
= A 2
sen [w 1
t – (w 1
t – w 2
t) + j 2
] = A 2
sen [w 1
t + d(t)]
siendo d(t) = (w 2
– w 1
)t + j 2
; con lo que las expresiones de x 1
y x 2
son semejantes a las estudiadas
en el párrafo anterior, luego la amplitud y la fase del movimiento resultante serán:
A
j = arctg
A
L
NM
L
NM
2p
= A
+ + + + +
T t QP A 2p
1 sen 2n1p
j1 2 sen
T t 2n p j
1
2
= A sen ( w t + j ) + A sen ( w t + j ) = x
sen j + A
cos j + A
1 1 2
1 1 2
1 1 1 2 2 2
sen d
cos d
O
A = A + A + 2A A cos ( j − d)
por tanto el movimiento resultante no es armónico puesto que tanto la amplitud como la fase resultante
son funciones del tiempo. Resumiendo y generalizando:
2
«La superposición de varias oscilaciones de frecuencia y amplitud arbitraria produce un
proceso periódico, pero la mayoría de las veces es inarmónico. Recíprocamente, cualquier
L
NM
L
NM
2p
x′ = A
+ + = + +
T t n T QP A 2p
1 sen ( 1 1) j1 2 sen (
T t n T ) j
1
2
O
2
1
2
2
2 2 2
2 2
O
=
QP
O
=
QP
1 2 1
(20)
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* Ver movimiento circular y uniforme (párrafo IV-8).