Fisica General Burbano

MECÁNICA CUÁNTICA 695
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una teoría en la que las ecuaciones de movimiento de las variables
dinámicas de un sistema cuántico se escriben como ecuaciones entre
matrices. Esta teoría permite calcular matemáticamente las posibles
transiciones electrónicas entre los distintos niveles energéticos de un
átomo, con resultados más ajustados a los valores experimentales que
los obtenidos a partir de los postulados de Bohr.
Casi al mismo tiempo, Erwin Schrödinger (1887-1961) desarrolla la
MECÁNICA ONDULATORIA; basándose en la teoría de ondas clásica y en la
teoría de De Broglie, establece la correspondencia entre variables dinámicas
del corpúsculo y magnitudes características de la onda asociada.
Un sistema cuántico se representa mediante una FUNCIÓN DE ONDA cuya
propagación se describe mediante la ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER.
Ambas mecánicas, que en principio fueron consideradas como rivales
debido a sus formulaciones diferentes, son en realidad matemáticamente
idénticas como demostró posteriormente el propio Schrödinger;
son dos formulaciones particulares de la mecánica cuántica, cuyo formalismo
general fue expuesto por Dirac en 1929 incluyendo consideraciones
relativistas.
La mecánica cuántica es la teoría adecuada para la descripción de
los fenómenos microscópicos; por una parte en ella se incluyen como
casos particulares todos los conceptos que son válidos clásicamente, y
por otra, de ella se derivan como consecuencias lógicas los tres aspectos
inexplicables por la teoría clásica: el comportamiento corpuscular de
la materia, el ondulatorio de las partículas y la cuantificación de magnitudes
físicas.
Fig. XXVIII-45.– Microscopio electrónico.
El formalismo general de Dirac es la forma más completa de exponer
la mecánica cuántica, sin embargo en lo que resta emplearemos el
lenguaje de la mecánica ondulatoria porque está mucho más próximo al que hemos venido utilizando
y es más asequible a un estudiante de Física General.
XXVIII – 38. Principio de incertidumbre. (Principio de Heisenberg)
EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE O DE INDETERMINACIÓN, DE HEISENBERG, se refiere a la medida simultánea
de los valores de diversas parejas de magnitudes relativas a una partícula. Para la posición
y la cantidad de movimiento establece que:
«No es posible determinar simultáneamente la posición y la cantidad de movimiento exactas
de una partícula».
La representación de un electrón en la teoría de De Broglie mediante un paquete de ondas
implica que sólo puede asegurarse de su posición en un instante que está dentro de la región ocupada
por el paquete. Si éste ocupa sobre el eje X una distancia D x, diremos que ese valor es la IN-
CERTIDUMBRE o INDETERMINACIÓN en la posición del electrón.
Llamando D p x
a la INCERTIDUMBRE del valor de la componente según el eje X DE LA CANTIDAD
DE MOVIMIENTO, la formulación matemática del principio de Heisenberg para estas dos magnitudes
es:
∆ x∆
p h
De la misma forma se puede escribir: D y D p y
≥ h D z D p z
≥ h
«El producto de las indeterminaciones en las medidas simultáneas de la posición y la cantidad
de movimiento de una partícula es siempre mayor o igual que la constante de Planck».
Este principio no implica que no se puedan realizar medidas exactas de una de las dos magnitudes,
sino que cuanta más precisión se obtenga en una de ellas más indeterminada queda la otra.
El principio de indeterminación, básico en la mecánica cuántica, no se debe a un defecto de la
teoría que podría ser subsanado perfeccionándola, ni a problemas con el grado de precisión de los
instrumentos de medida; se deriva de la naturaleza ondulatoria de las partículas, como puede verse
en el siguiente caso:
Supongamos un haz de electrones de la misma velocidad que viajan hacia la rendija de anchura
b de la Fig. XXVIII-46, después de ser difractados producen en una placa fotográfica un ennegrecimiento
(de intensidad representada por la curva de la figura) consistente en una franja central
separada por mínimos de las dos franjas contiguas. Al atravesar la rendija la indeterminación
en la posición del electrón es D x = b, y, considerando solamente el máximo central, la indeterminación
en la componente x de la cantidad de movimiento es D p x
= p sen q. La cuestión (XXVI-35)
nos proporciona la relación sen q = l/b, con lo que:
l
l
sen q = ⇒ ∆ x =
∆ x
sen q
x ≥
(28)
Fig. XXVIII-46.– Difracción de electrones
por una rendija.