Fisica General Burbano

ELASTICIDAD 285
2
F I
HG K J F
= +
HG
∆l′
∆l′
A + ∆ A = A 1+
A 1 2
l′
l′
las variaciones relativas ∆ l/l, normalmente tienen valores muy pequeños, del orden de 10 –3 , por
ello podemos, en primera aproximación despreciar sus cuadrados. Así en la expresión anterior
(∆ l′/l′) 2 = ∆l′/l′, obteniéndose en definitiva:
I K J
∆A
∆l
A
= ′
2 =−2 s
l′
E p
(3)
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Un cm 3 de la sustancia, considerando una de sus aristas en la dirección de la tracción, se habrá
transformado en:
el volumen final de V cm 3 será:
∆l
∆l′
∆l
∆l′
∆l
∆l′
V + ∆V = V 1+
1 V 1 1 2 V V 2
l l′
l l′
l l′
hemos despreciado en los desarrollos (∆l′/l′) 2 y 2∆l′/l · ∆l′/l′. De la anterior obtenemos:
Las expresiones (1), (2), (3) y (4) nos indican la proporcionalidad de las variaciones relativas de
l, l′, A y V con la fuerza que actúa sobre cada unidad de sección o esfuerzo de tracción.
Teniendo en cuenta que en la tracción de un cuerpo, su volumen aumenta entonces ∆V es
siempre positivo, luego:
XIII – 4. Compresibilidad
2
F I
HG K J F I
+
HG K J F I
= +
HG K J F I
+
HG K J F
= + +
HG
∆V
∆l
2 ∆l′
p p ∆V
= + = − 2s
⇒ =
V l l′
E E V
1
1− 2s
> 0 ⇒ s <
2
COMPRESIBILIDAD es el fenómeno de disminución del volumen de un cuerpo al aplicar a su
superficie externa, presiones hacia el interior del cuerpo.
Si las presiones son iguales en todas las direcciones, la variación relativa de volumen queda
determinada por:
B: MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD de la sustancia, que se mide en dyn/cm 2 (CGS), N/m 2 (SI) y en kp/m 2
(TÉCNICO). El valor de B para los gases es enorme en comparación con el que corresponde a líquidos
y sólidos.
Los módulos de Young, de Poisson y compresibilidad, quedan ligados por la expresión:
Para la demostración de las fórmulas anteriores, supongamos a un cuerpo sometido a una
compresión uniforme p (por ejemplo, lo tenemos sumergido en un fluido), al que podemos imaginar
dividido en paralelepípedos de aristas a, b y c, sobre cada cara actuarán fuerzas normales de
comprensión. La variación de longitud de cualquier arista, la de a por ejemplo, es debida a dos
causas:
1) Una disminución de longitud debida a las presiones que actúan sobre las caras paralelas al
plano YZ en la Fig. XIII-5 (COMPRENSIÓN UNILATERAL); el valor de esta disminución por unidad de
longitud es: p/E.
2) Un alargamiento de longitud debida a las compresiones de los otros dos pares de caras
(CONTRACCIÓN de signo negativo); el valor de este aumento por unidad es: 2s p/E.
Luego la arista de longitud inicial a tendrá una longitud:
L
NM
∆lI ∆l′
1+
1
HG K J +
l l′
E = 3 B( 1−
2s)
2s
a a a
E p 1
+ = + −
E p a p
QP = + 2s
− 1
∆ 1
1
E
Razonando de la misma forma con las otras dos aristas obtendremos:
F
∆V
V
F
HG
= 1
B p
O
I K J
2
L
NM
1−
2s
p
E
O
QP
I K J
(4)
(5)
(6)
Fig. XIII-5.– Compresibilidad.