Fisica General Burbano

242 EL CAMPO GRAVITATORIO
M
r = =
4
pa
3
y la expresión vectorial será:
M′
4
pr
3
3 3
⇒ M′ = M r ⇒ g = GM r
a
a
g
=− GM
a 3
r
3
3 3
«La intensidad del campo gravitatorio que produce una distribución esférica y homogénea
de masa M en un punto interior a ella es: 1.º El que produciría una masa puntual (M′ igual
a la que habría en el interior de la esfera de radio la distancia del centro al punto considerado
(r), colocada en el centro. 2.º Proporcional a la distancia al centro (r). 3.º Independiente
de la masa que queda en el exterior de la esfera citada en el apartado 1.º
Compruébese que ambas expresiones obtenidas coinciden cuando calculamos el campo en la
superficie de la distribución (r = a).
XI – 17. Variación del peso con la profundidad
Fig. XI-24.– Variación del peso con
la profundidad.
1. La distancia entre los centros de dos esferas de 3 t de masa es
de 1 m, determinar la fuerza con que se atraen.
2. Supongamos que en el espacio intergaláctico (fuera de toda influencia
de cuerpos celestes) tres masas puntuales de 2, 4 y 2 kg se encuentran
en tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado. ¿Cuál es la
fuerza que ejercerán sobre una partícula de 1 g colocada en el cuarto
vértice?
3. Supongamos que en el espacio intergaláctico (fuera de toda influencia
de cuerpos celestes) se encuentran tres esferas de masas 1t, 2t y
3t cuyos centros se encuentran en (0, 0), (2, 3) y (– 2, 3) medidas estas
coordenadas en metros y referidas a un sistema de ejes rectangulares.
Calcular la fuerza que ejercerán sobre una partícula de 1 g de masa colocada
en (0, 6) m.
4. La esfera de hierro de la figura, centrada en el origen de coordenadas
y de 50 cm de radio, tiene una burbuja también esférica, vacía,
de 10 cm de radio y con su centro a 25 cm del de la esfera grande. Calcular
la fuerza gravitacional que ejerce sobre una pequeña masa de
100 g situada a 1 m del origen, como indica la figura. Densidad del hierro:
7,86 g/cm 3 .
5. Supongamos un sistema aislado (en ausencia de campo gravitacional)
formado por dos masas iguales (M) como se indica en la figura.
Una tercera masa m se suelta en un punto P equidistante de las dos masas
y a una distancia b = a de la línea que las une. Demostrar que adquiere
un movimiento vibratorio armónico y calcular su período.
6. En un experimento para medir la constante de gravitación universal
G, se encontró que una esfera de masa 0,8 kg atrae a otra esfera
de masa 4 × 10 – 3 kg con una fuerza de 1,3 × 10 – 10 N cuando la distancia
entre los centros de ambas esferas es de 4 × 10 – 2 m. La aceleración
En una mina profunda el peso de un cuerpo es menor que en la superficie terrestre. En efecto:
hemos demostrado que la intensidad del campo gravitatorio en cualquier punto interior a una esfera,
es igual al producido únicamente por la esfera material de radio r y masa M (Fig. XI-24). Si r
es la densidad media de tal esfera material, el peso de un cuerpo de masa m en el interior de la
mina (prescindiendo de las influencias de la rotación de la Tierra y de las diversas densidades del
subsuelo), es:
P = mg = G Mm
2
r
pero siendo
M = 4 pr
3
3
r , obtenemos:
4prGm P = r
3
Observemos que el peso es tanto menor cuanto menor es la distancia al centro de la Tierra. En
tal centro (r = 0) el peso es nulo.
PROBLEMAS: 60al 63.
PROBLEMAS
de la gravedad en la superficie terrestre es 9,80 m/s 2 y el radio terrestre
es de 6 400 km. Calcular a partir de estos datos la masa de la Tierra.
Problema XI-4.
Problema XI-5.
7. La masa de la Luna es aproximadamente 6,7× 10 22 kg, su radio
1,6 × 10 6 m y el valor de g 0
en la superficie de la Tierra es 9,8N /kg.
1) ¿Qué distancia recorrerá un cuerpo en un segundo, en caída libre hacia
la Luna, si se abandona en un punto próximo a la superficie de
aquélla? 2) ¿Cuál será el período de oscilación, en la superficie lunar,
de un péndulo cuyo período en la Tierra es de 1 s? 3) En la superficie
terrestre, al colocar un cuerpo en el platillo de una balanza y en el otro
platillo 23,15 g se consigue el equilibrio. ¿Qué pesas tendríamos que utilizar
para equilibrar, igualmente, el mismo cuerpo en la superficie lunar?
8. Si por alguna causa interna la Tierra redujese su radio a la mitad
manteniendo su masa (g 0
= 9,8 N/ kg y frecuencia de giro de la Tierra:
ν 0
= 1 vuelta /día). 1) ¿Cuál sería la intensidad de la gravedad en su
nueva superficie? 2) ¿Cuál sería la nueva duración del día en horas?
9. «Se dice que una órbita circular o elíptica de un satélite artificial
es estable cuando ésta corta la esfera terrestre en un círculo máximo.»
¿Por qué no lo es en caso contrario?
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