Fisica General Burbano

492 EL CAMPO MAGNÉTICO
XXI – 27. Campo magnético en el interior de un solenoide largo
Fig. XXI-48.– Inducción magnética
en el interior de un solenoide largo
con N espiras por unidad de longitud.
Fig. XXI-49.– Inducción magnética
en el interior de una bobina toroidal.
Representamos en la figura XXI-48 la sección de un solenoide muy largo comparado con su
diámetro, de tal forma, que si nos interesa sólo el cálculo de la inducción en un punto interior alejado
de los extremos podemos suponerlo como indefinido, y sabemos (de antemano) que la inducción
en el interior es uniforme y en el exterior es nula. Sabiendo esto, calculemos la circulación
de B a lo largo de una trayectoria que nos interese, es decir, que sea cómoda de cálculo, y en este
caso de campo uniforme, elegimos un rectángulo ABCD parte del cual este dentro del campo y
parte fuera. Tenemos que calcular:
pero:
z z z z z z z
z z
B? dl = B? dl = B? dl + B? dl + B? dl + B? dl + B? dl + B?
dl
ABCDA
puesto que B = 0 en el exterior. Además:
B? dl = B? dl = B?
dl
= 0
porque B y dl en los tramos FB y CE son siempre perpendiculares, luego el producto escalar será
nulo. Por tanto el valor de:
z z z
B? dl = B?
dl
= Bdl = B dl = B L
ya que en el tramo BC, todo dl es paralelo a B, y al ser el campo uniforme el módulo de B es
constante en todo punto, por lo que se puede sacar de la integral. Apliquemos ahora la ley de
Ampère:
zB? dl
= m 0 I
C
teniendo en cuenta que I es la intensidad que atraviesa el área de la curva C. En nuestro caso, el
área del rectángulo ABCD es cortada sucesivas veces por el conductor que suponemos que transporta
una intensidad I. Cada espira la corta una vez, y si hay N espiras por unidad de longitud, el
número total de veces que la intensidad corta al área del rectángulo será: NL. Luego tendremos
que:
zB? dl
= m 0 N L I
C
e igualando ambas expresiones de la circulación nos queda: BL= m 0
NLI. Si la longitud total del
solenoide fuese l y n el número total de espiras: N = n/l, luego:
B = m 0
que es exactamente igual a la obtenida en el párrafo XXI-23.
F
A
F
A
XXI – 28. Campo magnético en el interior de una bobina toroidal
C
B
F
B
E
D
Una bobina de este tipo es un selenoide cuyos extremos se juntan formando un toroide. La simetría
del problema exige que las líneas de campo sean circulares con centro el del toroide. En la
Fig. XXI-49 representamos una sección de tal toroide, indicando alguna de las líneas del campo
magnético. En el exterior el campo magnético es nulo.
Ahora la inducción en el interior no es uniforme (líneas circulares) y no podemos asegurar que
su módulo sea independiente de la distancia al centro. Únicamente, si r 2
– r 1
es pequeño frente a
r 1
(r 1
y r 2
son los radios mínimo y máximo del toroide) podemos asegurar que el módulo de B será
prácticamente independiente de la distancia al centro. Para calcular el módulo de B tomaremos
una línea circular de radio: r m
= (r 1
+ r 2
)/2 (única línea que se adapta a la simetría del problema),
y calcularemos la circulación a lo largo de esta línea media (C). Como B es paralelo a todo dl de
la línea de integración obtenemos:
z
B? dl
B dl B dl B 2 p rm
C
C
C
z z
= = =
zB
zE
B? dl = B?
dl
= 0
F
C
en este cálculo hemos sacado el módulo B fuera de la integral puesto que es constante en todos
los puntos de la línea. Por otra parte, el área de la línea C está cortada por todas las espiras del
arrollamiento, si hay n espiras, la aplicación de la ley de Ampère nos dará:
C
B
C
B
nI
l
zA
D
C
E
zC
B
E
D
zA
D
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