Fisica General Burbano

654 CINEMÁTICA Y DINÁMICA RELATIVISTAS
2
2 2 2
11
c = a ( c − V ) ⇒ a =
11
1
V
1 −
c
2
2
=
1
1 − b
2
(9)
que sustituida en (5) conduce a:
x V t
x = ′ + ′
2
1 − b
(10)
y si sustituimos la (9) y (10) en la (6):
x′ =
V
t′ + x′
1 x′ + V t′
2
M − VtP
⇒ t=
c
2 2
2
1−
b 1−
b 1−
b
luego las fórmulas de la transformación de Lorentz son:
L
NM
O
QP
Fig. XXVII-5.– Representación gráfica
de g en función de b que nos indica
que cuando b tiende a cero el valor
de g tiende a uno.
con:
x′ + V t′
x =
2
1 − b
y = y′
z = z′
V
t′ + x′
2
t = c
2
1 − b
Para tener las transformaciones inversas basta sustituir V por –V y x′, y′, z′, t′ por x, y, z, t, obteniéndose:
x − V t
x′ =
2
1 − b
y′ = y
z′ = z
V
t − x
2
t′ = c
2
1 − b
g =
⇔
⇔
1
1 − b
x = g ( x′ + V t′
)
y = y′
z = z′
F V
t = g t′ +
c
x ′
2
x′ = g ( x − V t)
y′ = y
z′ = z
F V
t′ = g t − x
2
c
Estas ecuaciones de transformación de coordenadas entre dos sistemas inerciales* constituyen
la formulación matemática de los principios de relatividad; podemos enunciar pues:
«Las leyes físicas son invariantes bajo una transformación de Lorentz».
Si una formulación matemática de un fenómeno no es invariante al aplicarle la transformación
de Lorentz podemos asegurar que básicamente es errónea; en el mejor de los casos constituirá una
aproximación válida en determinadas condiciones. Tal es el caso de la transformación de Galileo,
que coincide con la de Lorentz cuando el cociente V 2 /c 2 se aproxima a cero, o, lo que es lo mismo,
cuando 1 – V 2 /c 2 es prácticamente igual a 1. Por lo tanto, podremos usar aquella siempre que
nuestros instrumentos de medida sean incapaces de distinguir entre 1 – V 2 /c 2 y 1.
«Si la velocidad del sistema móvil es muy pequeña comparada con la de la luz, los cocientes
V/c 2 y V 2 /c 2 son prácticamente nulos, y, eliminándolos de las ecuaciones de Lorentz, volvemos a
encontrar las transformaciones de Galileo».
Analizaremos a continuación algunas consecuencias de las ecuaciones de transformación de
Lorentz.
XXVII – 6. Contracción de Lorentz-Fitzgerald
Consideremos una regla colocada en la dirección O′X′ del sistema S′, respecto del que está en
reposo. En este sistema mide l 0
unidades de longitud, teniendo sus extremos en x′ 1
y x′ 2
, es decir:
l 0
= x′ 2
– x′ 1
.
Si deseamos medir la longitud de esta regla desde el sistema S, tendremos que determinar las
abscisas x 1
y x 2
de los extremos de la regla en un mismo instante t. El observador de S, dirá que:
l = x 2
– x 1
. De (12) obtenemos:
2
HG
HG
I K J
I K J
(11)
(12)
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* Dejamos para el lector la comprobación de que aplicando (11) a la ecuación (7) se obtendrá (8), comprobando de ésta
forma que la ecuación que describe el frente de ondas es invariante para todos los sistemas inerciales.