Fisica General Burbano

OSCILACIONES 61
movimiento periódico se puede descomponer, independientemente de su forma, en un determinado
número de funciones armónicas».
x
El recíproco nos indica que: «si: x = x(t) es una función periódica pero no armónica podemos
considerarla como la superposición de movimientos vibratorios armónicos simples de frecuencias
n, 2n, 3n, ..., etc.» (Este análisis de las funciones periódicas fue realizado por el matemático francés
Joseph Fourier (1780-1830), por lo que la serie trigonométrica que ponemos a continuación lleva
su nombre). Analíticamente la serie la podemos expresar:
O
2
1
t
x( t) = A + A sen 2pnt + A sen 2p2nt + A sen 2p3nt
+ ...
0 1 2 3
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Supongamos, por ejemplo, dos movimientos vibratorios armónicos representados por las sinusoides
1 y 2 (Fig. III-30). El período del primero T 1
, es doble que el segundo, T 2
; es decir la frecuencia
del primero es la mitad de la del segundo. Sumemos sus elongaciones; x = x 1
+ x 2
y la
curva resultante nos representa un movimiento periódico, pero no armónico. La Fig. III-31 inferior
nos representa una función periódica «cuadrada», compuesta por las funciones armónicas de frecuencias
n, 3n y 5n, es decir a los términos 1º, 3º y 5º de la serie de Fourier.
PROBLEMAS: 84al 87.
III – 19. Composición de dos movimientos vibratorios armónicos
de la misma dirección y pequeña diferencia de frecuencias.
Modulación de amplitud. Pulsaciones
Es un caso particular del visto en el apartado anterior. Supongamos
que las condiciones iniciales en los movimientos vibratorios armónicos
de diferente frecuencia (aunque muy parecidas) que vamos a componer
son tales que: j 1
= j 2
= 0; entonces d(t) = (w 2
– w 1
)t, sustituyendo
en (20) obtenemos para el valor de la amplitud resultante:
2
2
1
2
2
A = A + A + 2A A cos ( w − w ) t
(FUNCIÓN DE MODULACIÓN O ENVOLVENTE)
variando periódicamente con el tiempo y oscilando entre los valores
A =± ( A1 + A2) cuando cos( w1 − w2)
t = 2kp
A =± ( A −A ) cuando cos( w − w ) t = ( 2k + 1)
p
1 2 1 2
Al ser la frecuencia de la oscilación de la amplitud:
w − w
n =
2p
1 2
1 2 1 2
= n − n
1 2
muy pequeña (por ser muy próximas n 1
y n 2
) entonces el período
T = 1/(n 1
– n 2
) será muy grande y la amplitud resultante varía muy
poco, se dice que la amplitud está MODULADA (Fig. III-32). La frecuencia
y por tanto el período de la oscilación resultante (x = x 1
+ x 2
) coinciden
con las calculadas para la función de modulación.
es una función «cuadrada» y es la suma de las tres funciones armó-
Fig. III-31.– La oscilación periódica de la parte inferior de la figura
La Fig. III-33 representa la elongación resultante frente al tiempo: nicas que representamos en la parte superior, que corresponde a
curvas envolventes corresponden a la variación de la amplitud con el las funciones de frecuencia n, 3n y 5n; es decir, a los términos 1 o , 3 o
tiempo (función de modulación).
y 5 o de la serie de Fourier.
Si además se verifica que A 1
= A 2
se produce el fenómeno llamado
PULSACIONES o BATIDOS; entonces las ecuaciones de los movimientos componentes serán:
x = A sen w t x = A sen w t
1 1 1 2 1 2
A + B A − B
sen A + sen B = 2 sen cos
2 2
1 − 2 1 + 2
⇒ x = x1 + x2 = 2A1
cos w w t sen
w w t
2 2
esta suma, que como resultado puramente matemático puede realizarse para cualquier w 1
y w 2
,
sólo tiene significado físico en su análisis como pulsación cuando |w 1
– w 2
|