Fisica General Burbano

362 ONDAS
XVII – 7. Ecuación general de ondas
Trataremos ahora de obtener una relación entre las derivadas de la función y que valga para
todas las perturbaciones en una dirección sea cual sea la forma particular de la función f (párrafo
XVII-2). Las derivadas primera y segunda de y respecto del tiempo en un punto de abcisa x determinado
(haciendo permanecer x constante, concepto de derivada parcial), llamando u = x – ct al
argumento de f, son en virtud de (1):
y
t
df u
du t
c df
du
2
y
2
t
df
c
t du
c d f u
2
du t
= = − ⇒ = −
F H G I K J =− =
2
c
2
2
d f
2
du
Si se considera a y en un instante determinado, entonces:
y df u df y d f
= = ⇒ =
2 2
x du x du x du
2
2
por tanto se verifica:
2
y
2
t
= c
2
2
y
2
x
a la que llamamos ECUACIÓN DE ONDAS; que responde, en general, a la propagación de una perturbación
cualquiera, con una velocidad c, y que no sólo tiene como solución la ecuación (1), sino
también otras que tienen gran interés físico. Así por ejemplo, en una dirección pueden propagarse
ondas en los dos sentidos +x y –x; se obtiene entonces: y(x, t) = f(x – ct) + g [x – (–ct)], que
como es fácil de comprobar también satisface a la ecuación de ondas.
Si la propagación tiene lugar en el espacio tridimensional, se demuestra que la ECUACIÓN DE
ONDAS escrita en su forma más general es:
Una de las soluciones más importantes a esta ecuación, es la que tiene la forma:
y = f (n · r ± ct)
siendo n el vector unitario perpendicular a la superficie de onda y r = xi + yj + zk. Estas ondas
son las llamadas ONDAS PLANAS. Existen otros tipos de ondas como las cilíndricas que son producidas
por focos lineales largos, y, sobre todo, las ESFÉRICAS que son las que se producen en un medio
tridimensional isótropo. Para éstas últimas, la expresión (8) puede transformarse en su equivalente:
sin más que considerar y función de la distancia r al foco y del tiempo, y(r, t), y tener en cuenta
que r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 . Una onda que satisface la ecuación anterior tiene la forma general:
y por tanto su amplitud disminuirá con la distancia al foco, como comprobaremos en el párrafo siguiente,
referente a la energía en un movimiento ondulatorio.
PROBLEMAS: 27al 30.
B) ENERGÍA E INTENSIDAD DE LAS ONDAS
XVII – 8. Propagación de la energía a través de un medio homogéneo e isótropo.
Variación de la amplitud de la onda con la distancia al foco emisor
Al realizar un foco de ondas un movimiento vibratorio, éste es transmitido partícula a partícula
a todo el medio que le rodea; cualquier partícula de masa m cuyo estado vibratorio sea:
poseerá una energía total:
2
y 2 y y y
= c + +
2
2 2 2
t x y z
2
F
HG
2
F
HG
y 2 y 2 y
= c +
2
2
t r r r
y( rt ,) = 1
( )
r fr±
ct
y = y 0
sen (wt ± kx + j)
1
W = my 2 0w 2 = 2p 2 my n
2
2
2
2
I
KJ
I
KJ
2 2
0
(8)
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según se demostró en el párrafo VII-27.